Exercício 1. Calcule as integrais
integral triplaR x^2 y cos (x y z) d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 0 <= x <= pi / 4,0 <= y <= 1,1 <= z <= 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaR x^2ycos(xyz),dV
sobre o paralelepípedo
R = (x,y,z)inR^3mid 0<= x<= tfracpi4,;0<= y<=1,;1<= z<=3
O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini para separar a integração em cada variável, além de técnicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando x,y como constantes:
integral1^3cos(xyz),dz =1xyl[sin(xyz)r]z=1^3 =sin(3xy)-sin(xy)xy
Assim o integrando vira
x^2ycdotsin(3xy)-sin(xy)xy =xl[sin(3xy)-sin(xy)r]

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^1xl[sin(3xy)-sin(xy)r]dy =xl[1-cos(3x)3x-1-cos(x)xr] =1-cos(3x)3-(1-cos(x))
Portanto a integral reduz-se a
integral0^pi/4l[tfrac1-cos(3x)3-(1-cos(x))r]dx =integral0^pi/4l(-tfrac23+cos(x)-tfrac13cos(3x)r)dx

Passo 4

Separamos em três integrais:
integral0^pi/4-tfrac23,dx=-tfrac23cdottfracpi4=-tfracpi6,
integral0^pi/4cos(x),dx=l[sin(x)r]0^pi/4 =tfracraiz22,
-tfrac13integral0^pi/4cos(3x),dx =-tfrac13cdottfrac13l[sin(3x)r]0^pi/4 =-tfrac19cdottfracraiz22 =-tfracraiz218
Somando tudo:
-tfracpi6+tfracraiz22-tfracraiz218 =-tfracpi6+raiz2l(tfrac12-tfrac118r) =-tfracpi6+tfrac4raiz29

Resposta

integral triplaR x^2ycos(xyz),dV =4raiz29-pi6

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