Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
, bem como os valores de
nesses pontos;
(d) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(f) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva
tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
é contínua, mas
não é definida).
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
(b) Calcule
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
(d) Calcule
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
(f) Calcule as raízes de
(g) Verifique se a curva
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
Passo 1
O enunciado nos pede um estudo completo da função
Isso envolve análise de domínio, derivadas primeira e segunda, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão, raízes, assíntotas e esboço do gráfico.
Passo 2
O radicando de índice ímpar
está bem definido para todo
.
Logo o domínio é
Logo o domínio é
Como não há divisões por zero nem logaritmos, não há assíntotas verticais.
Passo 3
Calculamos a derivada:
Colocando em forma única:
Analisando o sinal do numerador
, verifica-se que ele muda de negativo para positivo ao passar por
. Concluímos:
-
em , -
em .
Passo 4
Como
muda de negativo para positivo em
, essa é um ponto de mínimo local.
Calculamos
Calculamos
Não há ponto de máximo local.
Passo 5
A segunda derivada é
O sinal de
dá:
-
se e só se e , concavidade para cima em , -
em , concavidade para baixo.
Pontos onde
muda de sinal são
e
. Como
é contínua nesses pontos e a concavidade troca, temos pontos de inflexão em:
Passo 6
Para achar raízes, resolvemos
o que não tem solução real. Logo, não há raízes.
Passo 7
Para
, usemos a expansão
Assim
Temos, portanto, a assíntota horizontal
Não há assíntota inclinada distinta.
Passo 8
Resumo para esboçar:
- Domínio:
. - Decrescente em
, crescente em . - Mínimo local em
. - Concava para baixo em
, concava para cima em . - Pontos de inflexão em
e . - Sem raízes reais.
- Assíntota horizontal
. - Em
a derivada , logo há reta tangente vertical.
Resposta
Domínio:
, sem assíntotas verticais.
Monotonia: decrescente em , crescente em
.
Extremo: mínimo local em .
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Pontos de inflexão: e
.
Raízes: nenhuma real.
Assíntota horizontal: .
Reta tangente vertical em .
Monotonia: decrescente em
Extremo: mínimo local em
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão:
Raízes: nenhuma real.
Assíntota horizontal:
Reta tangente vertical em