Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f é contínua, mas f^prime não é definida).
f(x)=2 x-2 raiz[3]x^3+1

Passo 1

O enunciado nos pede um estudo completo da função
f(x)=2x ;-;2raiz[3]x^3+1
Isso envolve análise de domínio, derivadas primeira e segunda, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão, raízes, assíntotas e esboço do gráfico.

Passo 2

O radicando de índice ímpar x^3+1 está bem definido para todo xinR.
Logo o domínio é
Dom(f)=R
Como não há divisões por zero nem logaritmos, não há assíntotas verticais.

Passo 3

Calculamos a derivada:
f'(x)=2 ;-;2cdotddxl(x^3+1r)^1/3 =2 ;-;2cdot13(x^3+1)^-2/3cdot3x^2 =2-2,x^2(x^3+1)^2/3
Colocando em forma única:
f'(x) =2,(x^3+1)^2/3-x^2(x^3+1)^2/3
Analisando o sinal do numerador (x^3+1)^2/3-x^2, verifica-se que ele muda de negativo para positivo ao passar por x=-1. Concluímos:
  • f'(x)<0 em (-infty,-1),
  • f'(x)>0 em (-1,infty).

Passo 4

Como f' muda de negativo para positivo em x=-1, essa é um ponto de mínimo local.
Calculamos
f(-1)=2(-1)-2raiz[3](-1)^3+1=-2-2cdot0=-2
Não há ponto de máximo local.

Passo 5

A segunda derivada é
f''(x) =ddxl(2-2x^2(x^3+1)^2/3r) =-4x,(x^3+1)^-5/3
O sinal de f'' dá:
  • f''(x)>0 se e só se x<0 e xneq -1, concavidade para cima em (-1,0),
  • f''(x)<0 em (-infty,-1)cup(0,infty), concavidade para baixo.
Pontos onde f'' muda de sinal são x=-1 e x=0. Como f é contínua nesses pontos e a concavidade troca, temos pontos de inflexão em:
(-1,,-2) e l(0,;f(0)r)=(0,-2)

Passo 6

Para achar raízes, resolvemos
2x=2raiz[3]x^3+1 Longrightarrow x=raiz[3]x^3+1 Longrightarrow x^3=x^3+1,
o que não tem solução real. Logo, não há raízes.

Passo 7

Para xtopminfty, usemos a expansão
raiz[3]x^3+1=xl(1+tfrac1x^3r)^1/3 approx x+13x^2
Assim
f(x)=2x-2l(x+tfrac13x^2r)+ol(x^-2r) =-23x^2+ol(x^-2r)to0
Temos, portanto, a assíntota horizontal
y=0
Não há assíntota inclinada distinta.

Passo 8

Resumo para esboçar:
  • Domínio: R.
  • Decrescente em (-infty,-1), crescente em (-1,infty).
  • Mínimo local em (-1,-2).
  • Concava para baixo em (-infty,-1)cup(0,infty), concava para cima em (-1,0).
  • Pontos de inflexão em (-1,-2) e (0,-2).
  • Sem raízes reais.
  • Assíntota horizontal y=0.
  • Em x=-1 a derivada topminfty, logo há reta tangente vertical.

Resposta

Domínio: R, sem assíntotas verticais.
Monotonia: decrescente em (-infty,-1), crescente em (-1,infty).
Extremo: mínimo local em (-1,-2).
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,-1)cup(0,infty), côncava para cima em (-1,0).
Pontos de inflexão: (-1,-2) e (0,-2).
Raízes: nenhuma real.
Assíntota horizontal: y=0.
Reta tangente vertical em x=-1.

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