Seja y=f(x), x in R, derivável até 2^a ordem e tal que, para todo x, f^prime prime(x)+f(x)=0. Seja g dada por g(x)=f^prime(x) cdot sen x-f(x) cdot cos x. Prove que g é constante.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:RtoR, duas vezes derivável, que satisfaz a equação diferencial
f''(x)+f(x)=0
Define-se
g(x)=f'(x),sin x ;-;f(x),cos x
Queremos mostrar que g é constante, ou seja, que g'(x)=0 para todo x.

Passo 2

Calcular g'(x) usando a regra do produto em cada termo:
g'(x) = ddxl(f'(x)sin xr);-;ddxl(f(x)cos xr)
Aplicando a regra do produto em cada parcela, obtemos
g'(x) = l(f''(x)sin x + f'(x)cos xr) - l(f'(x)cos x - f(x)sin xr)

Passo 3

No lado direito, os termos f'(x)cos x se cancelam, ficando
g'(x) = f''(x),sin x ;+;f(x),sin x = l(f''(x)+f(x)r)sin x

Passo 4

Pela hipótese temos f''(x)+f(x)=0 para todo x. Logo
g'(x)=0cdotsin x = 0
em todos os pontos, o que implica que g é constante em R.

Resposta

A função g é constante.

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