Seja
, derivável até
ordem e tal que, para todo
. Seja
dada por
. Prove que
é constante.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
, duas vezes derivável, que satisfaz a equação diferencial
Define-se
Queremos mostrar que
é constante, ou seja, que
para todo
.
Passo 2
Calcular
usando a regra do produto em cada termo:
Aplicando a regra do produto em cada parcela, obtemos
Passo 3
No lado direito, os termos
se cancelam, ficando
Passo 4
Pela hipótese temos
para todo
. Logo
em todos os pontos, o que implica que
é constante em
.
Resposta
A função
é constante.