Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
nesses pontos;
(d) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva
tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
é contínua, mas
não é definida).
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
(b) Calcule
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
(d) Calcule
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação
(g) Verifique se a curva
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
incluindo:
a) domínio e retas assíntotas verticais;
b) derivada primeira e monotonicidade;
c) extremos locais;
d) derivada segunda e concavidade;
e) pontos de inflexão;
f) raízes;
g) assíntotas horizontais ou inclinadas;
h) esboço do gráfico;
i) pontos de reta tangente vertical ou inexistente.
a) domínio e retas assíntotas verticais;
b) derivada primeira e monotonicidade;
c) extremos locais;
d) derivada segunda e concavidade;
e) pontos de inflexão;
f) raízes;
g) assíntotas horizontais ou inclinadas;
h) esboço do gráfico;
i) pontos de reta tangente vertical ou inexistente.
Passo 2
Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja não nulo:
Logo o domínio é
Em
o denominador muda de sinal e a função tende a
, logo há retas assíntotas verticais em
Passo 3
Calculamos a derivada primeira por quociente:
Como
e
em todo o domínio, temos
para todo
. Assim,
é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio.
Passo 4
O sinal de
não muda em nenhum ponto do domínio (é sempre negativo), portanto não existem pontos de máximo nem de mínimo locais.
Passo 5
Derivando
por quociente ou produto, chega-se a
O sinal de
é o mesmo de
.
-
(côncava para cima) se ou -
(côncava para baixo) se
Passo 6
Os pontos de inflexão ocorrem onde
e muda o sinal. Da fórmula de
, temos
em
. Verifica-se mudança de concavidade em
, logo há ponto de inflexão em
Passo 7
Para achar as raízes, resolvemos
(denominador não zero). Logo a única raiz é
.
Passo 8
Para
,
então existe assíntota horizontal
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não há assíntota oblíqua.
Passo 9
Esboço do gráfico a partir dos dados:
- Domínio em três ramos:
, , . - Em cada ramo
é decrescente e tende a nas assíntotas verticais, e a na horizontal. - Ponto de inflexão em
. - Concavidade alterna conforme Passo 5.
Passo 10
A derivada
é finita em todo o domínio e a função não é contínua em
, logo não há reta tangente vertical nem pontos onde
seja contínua e
indefinida.
Resposta
(a)
. Retas verticais em
.
(b) , logo
é decrescente em todo o domínio.
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) . Côncava para cima em
; côncava para baixo em
.
(e) Ponto de inflexão em .
(f) Raiz única em .
(g) Assíntota horizontal ; sem assíntota inclinada.
(h) Gráfico decrescente em cada ramo, com comportamentos nos limites e inflexão em conforme descrito.
(i) Não há reta tangente vertical nem ponto onde seja contínua e
indefinida.
(b)
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d)
(e) Ponto de inflexão em
(f) Raiz única em
(g) Assíntota horizontal
(h) Gráfico decrescente em cada ramo, com comportamentos nos limites e inflexão em
(i) Não há reta tangente vertical nem ponto onde