Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f é contínua, mas f^prime não é definida).
f(x)=xx^2-2

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=xx^2-2
incluindo:
a) domínio e retas assíntotas verticais;
b) derivada primeira e monotonicidade;
c) extremos locais;
d) derivada segunda e concavidade;
e) pontos de inflexão;
f) raízes;
g) assíntotas horizontais ou inclinadas;
h) esboço do gráfico;
i) pontos de reta tangente vertical ou inexistente.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja não nulo:
x^2-2neq0;Longrightarrow;xneqpmraiz2
Logo o domínio é
Rsetminuspmraiz2
Em x=pmraiz2 o denominador muda de sinal e a função tende a pminfty, logo há retas assíntotas verticais em
x=raiz2 e x=-raiz2

Passo 3

Calculamos a derivada primeira por quociente:
f'(x) =1cdot(x^2-2)-xcdot 2x(x^2-2)^2 =x^2-2-2x^2(x^2-2)^2 =-(x^2+2)(x^2-2)^2
Como (x^2+2)>0 e (x^2-2)^2>0 em todo o domínio, temos
f'(x)<0
para todo xneqpmraiz2. Assim, f é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio.

Passo 4

O sinal de f' não muda em nenhum ponto do domínio (é sempre negativo), portanto não existem pontos de máximo nem de mínimo locais.

Passo 5

Derivando f'(x)=-(x^2+2)/(x^2-2)^2 por quociente ou produto, chega-se a
f''(x) =2x(x^2+6)(x^2-2)^3
O sinal de f'' é o mesmo de x/(x^2-2).
  • f''(x)>0 (côncava para cima) se x>0 e x^2-2>0Longrightarrow x>raiz2, ou x<0 e x^2-2<0Longrightarrow -raiz2<x<0
  • f''(x)<0 (côncava para baixo) se x<-raiz2 ou 0<x<raiz2

Passo 6

Os pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e muda o sinal. Da fórmula de f'', temos f''(x)=0 em x=0. Verifica-se mudança de concavidade em x=0, logo há ponto de inflexão em
l(0,f(0)r)=(0,0)

Passo 7

Para achar as raízes, resolvemos f(x)=0iff x=0 (denominador não zero). Logo a única raiz é x=0.

Passo 8

Para xtopminfty,
f(x)=xx^2-2sim1xto0,
então existe assíntota horizontal
y=0
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não há assíntota oblíqua.

Passo 9

Esboço do gráfico a partir dos dados:
  • Domínio em três ramos: (-infty,-raiz2), (-raiz2,raiz2), (raiz2,infty).
  • Em cada ramo f é decrescente e tende a pminfty nas assíntotas verticais, e a 0 na horizontal.
  • Ponto de inflexão em (0,0).
  • Concavidade alterna conforme Passo 5.

Passo 10

A derivada f'(x) é finita em todo o domínio e a função não é contínua em x=pmraiz2, logo não há reta tangente vertical nem pontos onde f seja contínua e f' indefinida.

Resposta

(a) Dom(f)=Rsetminuspmraiz2. Retas verticais em x=pmraiz2.
(b) f'(x)=-x^2+2(x^2-2)^2<0, logo f é decrescente em todo o domínio.
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) f''(x)=2x(x^2+6)(x^2-2)^3. Côncava para cima em (-raiz2,0)cup(raiz2,infty); côncava para baixo em (-infty,-raiz2)cup(0,raiz2).
(e) Ponto de inflexão em (0,0).
(f) Raiz única em x=0.
(g) Assíntota horizontal y=0; sem assíntota inclinada.
(h) Gráfico decrescente em cada ramo, com comportamentos nos limites e inflexão em (0,0) conforme descrito.
(i) Não há reta tangente vertical nem ponto onde f seja contínua e f' indefinida.

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