Calcule o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=-2, a região limitada pelas curvas dadas pelas equações y^2=x^3, y=0 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=-2, a região limitada pelas curvas
y^2=x^3, y=0, x=4
O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução e usaremos o método das cascas cilíndricas (fatias verticais).

Passo 2

Tomamos uma fatia vertical em x, com espessura dx, onde 0<= x<=4.
  • A altura da casca é
h(x)=ytop-ybot=x^3/2-0=x^3/2
  • O raio da casca (distância da reta x=-2 até x) é
r(x)=x-(-2)=x+2
Assim o volume elemental é
dV=2pi,r(x),h(x),dx =2pi,(x+2),x^3/2,dx

Passo 3

O volume total é
V =2piintegral0^4(x+2),x^3/2,dx =2piintegral0^4l(x^5/2+2,x^3/2r)dx
Calculamos as primitivas:
integral x^5/2dx=27,x^7/2, integral x^3/2dx=25,x^5/2
Logo
V =2pil[27x^7/2+2cdot25x^5/2r]0^4 =2pil[27x^7/2+45x^5/2r]0^4

Passo 4

Avalia em x=4:
4^7/2=(raiz4)^7=2^7=128, 4^5/2=(raiz4)^5=2^5=32
Então
V =2pil[27cdot128+45cdot32r] =2pil[2567+1285r] =2picdot217635 =4352pi35

Resposta

V=4352pi35

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