Determine uma função
sabendo-se que a sua diferencial total é:
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma função
cuja diferencial total é
O conteúdo é formas diferenciais exatas e função potencial. Para resolver, vamos verificar se a forma é exata e, em caso afirmativo, integrar adequadamente.
Passo 2
Definimos
Verificamos a condição de exatidão
:
Como são iguais, a diferencial é exata e existe
tal que
.
Passo 3
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
. Logo
Passo 4
Para determinar
, calculamos
e igualamos a
:
Isso dá
, logo
com
constante.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos