Determine uma função f(x, y) sabendo-se que a sua diferencial total é:
d f=(3 y^2-2 x cos y) d x+(6 x y+x^2 sen y+2) d y

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma função f(x,y) cuja diferencial total é
df = l(3y^2 - 2xcos yr),dx ;+;l(6xy + x^2sin y + 2r),dy
O conteúdo é formas diferenciais exatas e função potencial. Para resolver, vamos verificar se a forma é exata e, em caso afirmativo, integrar adequadamente.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3y^2 - 2xcos y, N(x,y) = 6xy + x^2sin y + 2
Verificamos a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x:
partial Mpartial y = 6y + 2xsin y, partial Npartial x = 6y + 2xsin y
Como são iguais, a diferencial é exata e existe f tal que df = M,dx + N,dy.

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
integral M,dx = integrall(3y^2 - 2xcos yr),dx = 3xy^2 - x^2cos y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y. Logo
f(x,y) = 3xy^2 - x^2cos y + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), calculamos partial f/partial y e igualamos a N(x,y):
partial fpartial y = 6xy + x^2sin y + h'(y) stackrel!= 6xy + x^2sin y + 2
Isso dá h'(y)=2, logo
h(y) = 2y + C,
com C constante.

Passo 5

Substituindo h(y) em f(x,y), obtemos
f(x,y) = 3xy^2 - x^2cos y + 2y + C

Resposta

f(x,y) = 3xy^2 - x^2cos y + 2y + C, onde C é constante.

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