Exercício 3) Determinar os pontos críticos das funções dadas e verificar quais são de máximo e quais são de mínimo nos casos:
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e determinar se cada ponto crítico é máximo, mínimo ou ponto de sela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais para encontrar onde o gradiente zera e uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para ter ponto crítico, precisamos de
Como
para todo
, segue que a única solução é
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora vamos usar a Hessiana de
. Primeiro, calculemos as segundas derivadas gerais:
No ponto
temos
, de modo que
O discriminante da Hessiana em
é
Como
e
, pelo teste da Hessiana
é um ponto de mínimo local. Além disso, como
quando
, esse mínimo é global.
Resposta
O único ponto crítico é
, e este é ponto de mínimo (local e global). Não há pontos de máximo.