Exercício 3) Determinar os pontos críticos das funções dadas e verificar quais são de máximo e quais são de mínimo nos casos:
f(x, y)=e^1+x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=e^1+x^2+y^2
e determinar se cada ponto crítico é máximo, mínimo ou ponto de sela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais para encontrar onde o gradiente zera e uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = partialpartial xl(e^1+x^2+y^2r) = 2x,e^1+x^2+y^2,
partial fpartial y = 2y,e^1+x^2+y^2
Para ter ponto crítico, precisamos de
2x,e^1+x^2+y^2=0 e 2y,e^1+x^2+y^2=0
Como e^1+x^2+y^2>0 para todo (x,y), segue que a única solução é
x=0, y=0
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora vamos usar a Hessiana de f. Primeiro, calculemos as segundas derivadas gerais:
partial^2fpartial x^2 = partialpartial xl(2x,e^1+x^2+y^2r) = l(2+4x^2r)e^1+x^2+y^2,
partial^2fpartial y^2 = l(2+4y^2r)e^1+x^2+y^2,
partial^2fpartial x,partial y = partialpartial yl(2x,e^1+x^2+y^2r) = 4xy,e^1+x^2+y^2
No ponto (0,0) temos e^1+0+0=e, de modo que
fxx(0,0)=2e, fyy(0,0)=2e, fxy(0,0)=0
O discriminante da Hessiana em (0,0) é
D = fxx(0,0),fyy(0,0)-l(fxy(0,0)r)^2 = (2e)(2e)-0 = 4e^2>0
Como D>0 e fxx(0,0)=2e>0, pelo teste da Hessiana (0,0) é um ponto de mínimo local. Além disso, como f(x,y)to+infty quando |(x,y)|toinfty, esse mínimo é global.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e este é ponto de mínimo (local e global). Não há pontos de máximo.

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