Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(a) f(x)=x^{2} no ponto de abscissa p=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e, se existir, da reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa p. Aqui temos
f(x)=x^2,\quad p=2.
Vamos usar que a reta tangente em x=p é dada por
y = f(p) + f'(p)\,(x-p),
e, se f'(p)\neq0, a reta normal é
y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x-p).

Passo 2

Calculamos o valor de f em p=2:
f(2) = 2^2 = 4.

Passo 3

Derivamos f e avaliamos em p=2:
f'(x) = 2x \quad\Longrightarrow\quad f'(2) = 2\cdot 2 = 4.

Passo 4

Substituindo em
y = f(p) + f'(p)\,(x-p)
temos
y = 4 + 4\,(x-2).
Podemos também escrevê-la na forma reduzida:
y = 4x - 8 + 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 4x - 4.

Passo 5

Como f'(2)=4\neq0, a reta normal existe e é dada por
y = f(p) - \frac{1}{f'(p)}\,(x-p) = 4 \;-\;\frac{1}{4}\,(x-2).
Em forma reduzida:
y = 4 - \frac{1}{4}x + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}.

Resposta

A reta tangente em p=2 é
y = 4x - 4,
e a reta normal em p=2 é
y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}.

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