Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(c) f(x)=\sqrt{x} no ponto de abscissa p=1.

Passo 1

O enunciado nos dá f(x)=\sqrt{x} e pede a reta tangente e, como f'(1)\neq0, também a reta normal no ponto cuja abscissa é p=1. Para isso, vamos calcular f(1) e f'(1) e então montar as duas equações.

Passo 2

Derivando f, temos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo,
f(1)=\sqrt{1}=1, \quad f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}.

Passo 3

A reta tangente em p=1 é dada por
y = f(1) + f'(1)\,(x-1) = 1 + \frac{1}{2}(x-1),
que, ao simplificar, fica
y = \frac{1}{2}\,x + \frac{1}{2}.

Passo 4

Como f'(1)\neq0, a reta normal tem coeficiente angular -\tfrac{1}{f'(1)}=-2 e é dada por
y = f(1) - \frac{1}{f'(1)}\,(x-1) = 1 - 2\,(x-1),
que simplifica para
y = -2\,x + 3.

Resposta

A reta tangente é y = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2} e a reta normal é y = -2x + 3.

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