Para cada uma das funções dadas abaixo, determine uma equação para a reta tangente, y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Se f^{\prime}(p) \neq 0, determine uma equação para a reta normal, y=f(p)-\frac{1}{f^{\prime}(p)}(x-p), ao gráfico de f no ponto (p, f(p)).
(d) f(x)=\frac{1}{x^{2}} no ponto de abscissa p=2.

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre a reta tangente e, quando f'(p)\neq0, a reta normal ao gráfico de
f(x)=\frac1{x^2}
no ponto de abscissa p=2. Para isso, vamos usar as fórmulas
\text{tangente: }y = f(p) + f'(p)\,(x - p), \quad \text{normal: }y = f(p) - \frac1{f'(p)}\,(x - p).

Passo 2

Primeiro calculamos f(p) e f'(x).
f(p)=f(2)=\frac1{2^2}=\frac14, \qquad f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-2}\Bigr)=-2\,x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.
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f'(2)=-\frac{2}{2^3}=-\frac{1}{4}\neq0.

Passo 3

Substituindo na fórmula da reta tangente:
y = f(2) + f'(2)\,(x-2) = \frac14 + \Bigl(-\frac14\Bigr)(x-2).
Distribuindo,
y = \frac14 - \frac14\,x + \frac12 = -\frac14\,x + \frac34.

Passo 4

Como f'(2)\neq0, a reta normal existe e vale
y = f(2) - \frac1{f'(2)}\,(x-2) = \frac14 - \Bigl(-4\Bigr)\,(x-2),
pois -1/f'(2)=-1/(-1/4)=4. Então
y = \frac14 + 4x - 8 = 4x - \frac{31}{4}.

Resposta

A reta tangente em p=2 é
y = -\frac14\,x + \frac34,
e a reta normal é
y = 4x - \frac{31}{4}.

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