Para cada uma das funções dadas abaixo, encontre o máximo e mínimo (globais) no intervalo indicado. Ao fim da sua resposta, diga também quais são os máximos e mínimos locais da função no interior do intervalo dado.
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1 em [0,4]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1 definida no intervalo [0,4]. Ele pede duas coisas:
  1. Encontrar o(s) máximo(s) e mínimo(s) globais de f no intervalo [0,4].
  2. Dizer quais são os máximos e mínimos locais de f que estejam no interior do intervalo, ou seja em (0,4).
Informações importantes dadas:
  • A função explícita é f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1.
  • O intervalo de interesse é [0,4], logo precisamos considerar pontos críticos internos e também os endpoints x=0 e x=4.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (rápida e prática): para achar extremos em um intervalo fechado usamos dois tipos de pontos:
  • pontos críticos no interior, onde a derivada se anula ou não está definida;
  • os extremos possíveis também podem ocorrer nas extremidades do intervalo (aqui x=0 e x=4).
Vou calcular a derivada de f, encontrar onde ela é zero (esses são os candidatos internos) e avaliar f nesses pontos e nas extremidades. Para classificar um ponto crítico como máximo ou mínimo local uso o teste da segunda derivada quando possível.
Breve lembrando o que é derivada e por que ela importa:
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente a f em x. Onde f'(x)=0 a tangente é horizontal — pontos candidatos a extremos locais (isso vem do Teorema de Fermat).
  • A segunda derivada f''(x) mede a curvatura; se f''(x_0)>0 em um ponto crítico x_0, temos mínimo local; se f''(x_0)<0, temos máximo local.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x).
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x^{2}+9x+1\bigr)=3x^{2}-12x+9.
Posso fatorar:
f'(x)=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3).

Passo 4

Determinar os pontos críticos (soluções de f'(x)=0) no interior (0,4).
Resolvendo 3(x-1)(x-3)=0 dá as soluções \;x=1 e \;x=3.
Ambos estão dentro do intervalo [0,4] e, em particular, no interior (0,4), então são candidatos a extremos locais.

Passo 5

Calcular a segunda derivada f''(x) para classificar os pontos críticos.
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12x+9\bigr)=6x-12=6(x-2).
Agora avalio em cada ponto crítico:
f''(1)=6(1-2)=6(-1)=-6<0,
f''(3)=6(3-2)=6>0.
Interpretação (teste da segunda derivada):
  • Como f''(1)<0, em x=1 a função tem curvatura para baixo \Rightarrow máximo local em x=1.
  • Como f''(3)>0, em x=3 a função tem curvatura para cima \Rightarrow mínimo local em x=3.

Passo 6

Avaliar f nos pontos relevantes: pontos críticos internos x=1 e x=3 e nas extremidades x=0 e x=4. Vou mostrar cada cálculo passo a passo.
Calcular f(0):
f(0)=0^{3}-6\cdot0^{2}+9\cdot0+1=1.
Calcular f(1):
f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+9\cdot1+1=1-6+9+1=5.
Calcular f(3):
f(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+9\cdot3+1=27-54+27+1=1.
Calcular f(4):
f(4)=4^{3}-6\cdot4^{2}+9\cdot4+1=64-96+36+1=5.

Passo 7

Organizar os valores obtidos para comparar:
f(0)=1,\quad f(1)=5,\quad f(3)=1,\quad f(4)=5.
Comparando esses valores vemos que o maior valor obtido entre os candidatos é 5 (ocorre em x=1 e x=4) e o menor valor obtido é 1 (ocorre em x=0 e x=3).

Passo 8

Recapitulando as classificações locais que já calculamos:
  • x=1 é um ponto crítico com f''(1)=-6<0, portanto é um máximo local com valor f(1)=5.
  • x=3 é um ponto crítico com f''(3)=6>0, portanto é um mínimo local com valor f(3)=1.
Observação final antes da resposta: como os pontos x=1 e x=4 têm o mesmo valor máximo 5, ambos são pontos de máximo global no intervalo; e como x=0 e x=3 têm o mesmo valor mínimo 1, ambos são pontos de mínimo global no intervalo.

Resposta

Máximos globais: \;f(1)=5 e \;f(4)=5.
Mínimos globais: \;f(0)=1 e \;f(3)=1.
Máximo(s) local(is) no interior: \;x=1 com f(1)=5.
Mínimo(s) local(is) no interior: \;x=3 com f(3)=1.

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