Para cada uma das funções dadas abaixo, encontre o máximo e mínimo (globais) no intervalo indicado. Ao fim da sua resposta, diga também quais são os máximos e mínimos locais da função no interior do intervalo dado.
em
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
. Ele pede duas coisas:
- Encontrar o(s) máximo(s) e mínimo(s) globais de
no intervalo . - Dizer quais são os máximos e mínimos locais de
que estejam no interior do intervalo, ou seja em .
Informações importantes dadas:
- A função explícita é
. - O intervalo de interesse é
, logo precisamos considerar pontos críticos internos e também os endpoints e .
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (rápida e prática): para achar extremos em um intervalo fechado usamos dois tipos de pontos:
- pontos críticos no interior, onde a derivada se anula ou não está definida;
- os extremos possíveis também podem ocorrer nas extremidades do intervalo (aqui
e ).
Vou calcular a derivada de
, encontrar onde ela é zero (esses são os candidatos internos) e avaliar
nesses pontos e nas extremidades. Para classificar um ponto crítico como máximo ou mínimo local uso o teste da segunda derivada quando possível.
Breve lembrando o que é derivada e por que ela importa:
- A derivada
mede a inclinação da reta tangente a em . Onde a tangente é horizontal — pontos candidatos a extremos locais (isso vem do Teorema de Fermat). - A segunda derivada
mede a curvatura; se em um ponto crítico , temos mínimo local; se , temos máximo local.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
Posso fatorar:
Passo 4
Determinar os pontos críticos (soluções de
) no interior
.
Resolvendo
dá as soluções
e
.
Ambos estão dentro do intervalo
e, em particular, no interior
, então são candidatos a extremos locais.
Passo 5
Calcular a segunda derivada
para classificar os pontos críticos.
Agora avalio em cada ponto crítico:
Interpretação (teste da segunda derivada):
- Como
, em a função tem curvatura para baixo máximo local em . - Como
, em a função tem curvatura para cima mínimo local em .
Passo 6
Avaliar
nos pontos relevantes: pontos críticos internos
e
e nas extremidades
e
. Vou mostrar cada cálculo passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Passo 7
Organizar os valores obtidos para comparar:
Comparando esses valores vemos que o maior valor obtido entre os candidatos é
(ocorre em
e
) e o menor valor obtido é
(ocorre em
e
).
Passo 8
Recapitulando as classificações locais que já calculamos:
-
é um ponto crítico com , portanto é um máximo local com valor . -
é um ponto crítico com , portanto é um mínimo local com valor .
Observação final antes da resposta: como os pontos
e
têm o mesmo valor máximo
, ambos são pontos de máximo global no intervalo; e como
e
têm o mesmo valor mínimo
, ambos são pontos de mínimo global no intervalo.
Resposta
Máximos globais:
e
.
Mínimos globais: e
.
Máximo(s) local(is) no interior: com
.
Mínimo(s) local(is) no interior: com
.
Mínimos globais:
Máximo(s) local(is) no interior:
Mínimo(s) local(is) no interior: