Seja m e n números impares e maiores do que 1 . Mostre que a função
f(x)=x^{m}+x^{n}+x
não possui números críticos. (Dica: Mostre que a derivada nunca se anula. Faça o exercício primeiro para m=3 e n=5 e depois tente generalizar)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{m}+x^{n}+x
com \,m e \,n números ímpares e maiores do que 1. A pergunta é: mostrar que a função não possui números críticos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • mensão ímpares em>1,; n>1,
  • fé a função polinomialf(x)=x{m}+x{n}+x.
]
O que se pede exatamente: provar que não existe nenhum x\in\mathbb{R} tal que f'(x)=0 (lembrando que números críticos de uma função diferenciável são pontos onde f' é zero ou não existe).

Passo 2

Breve lembrete / aula sobre derivada e números críticos:
\text{(a) Regra da potência: se }g(x)=x^{k}\text{ com }k\in\mathbb{N},\text{ então }g'(x)=k x^{k-1}.êã
\text{(b) Definição prática de número crítico: }x_{0}\text{ é crítico se }f'(x_{0})=0\text{ ou }f'\text{ não existe em }x_{0}.çãáúíéíã
Como f é polinomial, f' existe para todo x\in\mathbb{R}; portanto só precisamos mostrar que f'(x)\neq0 para todo x. Vamos aplicar a regra da potência para calcular f'.

Passo 3

Caso específico sugerido: \,m=3 e \,n=5. Calcule a derivada usando a regra da potência:
f'(x)=3x^{2}+5x^{4}+1.
Agora uma observação simples: para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}\ge0 e x^{4}\ge0. Logo 3x^{2}\ge0 e 5x^{4}\ge0. Acrescentando +1 obtemos
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+1\ge 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Em particular, f'(x) nunca se anula no caso (m,n)=(3,5). Assim, para esse exemplo particular não há números críticos.

Passo 4

Generalização motivada pelo exemplo: quando m e n são ímpares, os expoentes m-1 e n-1 são pares. Escrevendo a derivada para o caso geral, de acordo com a regra da potência,
f'(x)=m x^{m-1}+n x^{n-1}+1.
Como m-1 e n-1 são pares, existe \ell_{1},\ell_{2}\in\mathbb{N} tais que m-1=2\ell_{1} e n-1=2\ell_{2}. Portanto
x^{m-1}=\bigl(x^{\ell_{1}}\bigr)^{2}\ge0\quad\text{e}\quad x^{n-1}=\bigl(x^{\ell_{2}}\bigr)^{2}\ge0
para todo x\in\mathbb{R}. Multiplicando por m>0 e n>0 (são inteiros ímpares maiores que 1), obtemos m x^{m-1}\ge0 e n x^{n-1}\ge0. Então, somando o termo constante +1,
f'(x)=m x^{m-1}+n x^{n-1}+1\ge 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Conclusão didática: mostramos que para qualquer x\in\mathbb{R} os dois primeiros termos de f'(x) são não-negativos porque envolvem potências pares de x, e o terceiro termo é +1. Logo a soma é sempre pelo menos 1, estritamente positiva. Assim f'(x) nunca é zero nem indefinida.

Resposta

A função não possui números críticos, pois f'(x)=m x^{m-1}+n x^{n-1}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}.

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