Seja
e
números impares e maiores do que 1 . Mostre que a função
não possui números críticos. (Dica: Mostre que a derivada nunca se anula. Faça o exercício primeiro para
e
e depois tente generalizar)
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e
números ímpares e maiores do que
. A pergunta é: mostrar que a função não possui números críticos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- •mensão ímpares em>1,; n>1,
- •fé a função polinomialf(x)=x{m}+x{n}+x.
O que se pede exatamente: provar que não existe nenhum
tal que
(lembrando que números críticos de uma função diferenciável são pontos onde
é zero ou não existe).
Passo 2
Breve lembrete / aula sobre derivada e números críticos:
Como
é polinomial,
existe para todo
; portanto só precisamos mostrar que
para todo
. Vamos aplicar a regra da potência para calcular
.
Passo 3
Caso específico sugerido:
e
. Calcule a derivada usando a regra da potência:
Agora uma observação simples: para todo
temos
e
. Logo
e
. Acrescentando
obtemos
Em particular,
nunca se anula no caso
. Assim, para esse exemplo particular não há números críticos.
Passo 4
Generalização motivada pelo exemplo: quando
e
são ímpares, os expoentes
e
são pares. Escrevendo a derivada para o caso geral, de acordo com a regra da potência,
Como
e
são pares, existe
tais que
e
. Portanto
para todo
. Multiplicando por
e
(são inteiros ímpares maiores que
), obtemos
e
. Então, somando o termo constante
,
Passo 5
Conclusão didática: mostramos que para qualquer
os dois primeiros termos de
são não-negativos porque envolvem potências pares de
, e o terceiro termo é
. Logo a soma é sempre pelo menos
, estritamente positiva. Assim
nunca é zero nem indefinida.
Resposta
A função não possui números críticos, pois
para todo
.