Encontre os pontos críticos da função:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os pontos críticos da função”
A função dada é .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está definida para todo
. - Há um valor absoluto
, o que pode causar mudança na expressão e possível não derivabilidade em . - A tarefa é achar os pontos críticos, isto é, os
onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe.
Passo 2
O que é ponto crítico (explicação didática)?
- Um ponto
é crítico quando ou ou não existe em . - Para encontrar
de uma função que envolve valor absoluto, a técnica prática é escrever a função em forma “peça a peça” (piecewise), porque tem fórmulas diferentes dependendo do sinal do argumento. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Escrever a função em duas expressões sem valor absoluto, separando os casos
e
.
Quando
temos
. Então
Simplificando:
Quando
temos
. Então
Simplificando:
Passo 4
Calcular as derivadas em cada ramo (explicando como derivar polinômios):
- Regra básica: a derivada de
é (com sinal apropriado). Aqui temos coeficiente para .
Para
(ramo direito) usamos
. Então
Para
(ramo esquerdo) usamos
. Então
Observação: nesses cálculos tratei cada termo separadamente: a derivada de
é
, a de
é
, a de
é
, constantes somam zero.
Passo 5
Procurar onde
em cada ramo (resolver as equações lineares) e checar se as soluções pertencem ao respectivo ramo.
No ramo
temos
. Resolver:
Verificação do ramo:
, portanto é solução válida neste ramo.
No ramo
temos
. Resolver:
Verificação do ramo:
, portanto é solução válida neste ramo.
Passo 6
Verificar a derivabilidade em
. Como há valor absoluto com mudança de ramo em
, devemos calcular as derivadas laterais (one-sided derivatives) em
.
Derivada pela esquerda (usando
e avaliando em
):
Derivada pela direita (usando
e avaliando em
):
Como
(esquerda deu
e direita deu
), a derivada não existe em
. Logo
é um ponto crítico por não diferenciabilidade.
Passo 7
Reunir os pontos críticos encontrados:
- Solução da equação
no ramo esquerdo: . - Ponto de não diferenciabilidade:
. - Solução da equação
no ramo direito: .
Calcular os valores de
nesses pontos (útil para apresentar os pontos críticos como pares
).
Para
(usa-se o ramo
, expressão
):
Para
(usar qualquer ramo ou a definição original;
):
Para
(usa-se o ramo
, expressão
):
Observação simpática: os pontos
e
têm o mesmo valor de função
.