Encontre os pontos críticos da função:
f(x)=|x-2|-x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os pontos críticos da função”
A função dada é \!f(x)=|x-2|-x^{2}+4x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Há um valor absoluto |x-2|, o que pode causar mudança na expressão e possível não derivabilidade em x=2.
  • A tarefa é achar os pontos críticos, isto é, os x onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe.

Passo 2

O que é ponto crítico (explicação didática)?
  • Um ponto x é crítico quando ou \!f'(x)=0 ou \!f' não existe em x.
  • Para encontrar \!f'(x) de uma função que envolve valor absoluto, a técnica prática é escrever a função em forma “peça a peça” (piecewise), porque |\cdot| tem fórmulas diferentes dependendo do sinal do argumento. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Escrever a função em duas expressões sem valor absoluto, separando os casos \!x\ge 2 e \!x<2.
Quando \!x\ge 2 temos |x-2|=x-2. Então
f(x)=x-2-x^{2}+4x \quad\text{para }\; x\ge 2.
Simplificando:
f(x)=-x^{2}+5x-2 \quad\text{para }\; x\ge 2.
Quando \!x<2 temos |x-2|=-(x-2)=2-x. Então
f(x)=2-x-x^{2}+4x \quad\text{para }\; x<2.
Simplificando:
f(x)=-x^{2}+3x+2 \quad\text{para }\; x<2.

Passo 4

Calcular as derivadas em cada ramo (explicando como derivar polinômios):
  • Regra básica: a derivada de \!ax^{2}+bx+c é \!2ax+b (com sinal apropriado). Aqui temos coeficiente \!-1 para x^{2}.
Para \!x>2 (ramo direito) usamos \!f(x)=-x^{2}+5x-2. Então
f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^{2}+5x-2) = -2x+5 \quad\text{para }\; x>2.
Para \!x<2 (ramo esquerdo) usamos \!f(x)=-x^{2}+3x+2. Então
f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^{2}+3x+2) = -2x+3 \quad\text{para }\; x<2.
Observação: nesses cálculos tratei cada termo separadamente: a derivada de -x^{2} é -2x, a de 5x é 5, a de 3x é 3, constantes somam zero.

Passo 5

Procurar onde \!f'(x)=0 em cada ramo (resolver as equações lineares) e checar se as soluções pertencem ao respectivo ramo.
No ramo \!x>2 temos \!-2x+5=0. Resolver:
-2x+5=0 \Rightarrow -2x=-5 \Rightarrow x=\frac{5}{2}.
Verificação do ramo: \!\frac{5}{2}=2{,}5\ge 2, portanto é solução válida neste ramo.
No ramo \!x<2 temos \!-2x+3=0. Resolver:
-2x+3=0 \Rightarrow -2x=-3 \Rightarrow x=\frac{3}{2}.
Verificação do ramo: \!\frac{3}{2}=1{,}5<2, portanto é solução válida neste ramo.

Passo 6

Verificar a derivabilidade em x=2. Como há valor absoluto com mudança de ramo em x=2, devemos calcular as derivadas laterais (one-sided derivatives) em x=2.
Derivada pela esquerda (usando \!-2x+3 e avaliando em x=2):
f'_-(2) = -2\cdot 2 + 3 = -4+3 = -1.
Derivada pela direita (usando \!-2x+5 e avaliando em x=2):
f'_+(2) = -2\cdot 2 + 5 = -4+5 = 1.
Como f'_-(2) \neq f'_+(2) (esquerda deu -1 e direita deu 1), a derivada não existe em x=2. Logo x=2 é um ponto crítico por não diferenciabilidade.

Passo 7

Reunir os pontos críticos encontrados:
  • Solução da equação \!f'(x)=0 no ramo esquerdo: x=\frac{3}{2}.
  • Ponto de não diferenciabilidade: x=2.
  • Solução da equação \!f'(x)=0 no ramo direito: x=\frac{5}{2}.
Calcular os valores de f nesses pontos (útil para apresentar os pontos críticos como pares (x,f(x))).
Para x=\frac{3}{2} (usa-se o ramo \!x<2, expressão \!-x^{2}+3x+2):
f\!\Big(\frac{3}{2}\Big) = -\Big(\frac{3}{2}\Big)^{2} + 3\cdot\frac{3}{2} + 2 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 2 = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}.
Para x=2 (usar qualquer ramo ou a definição original; |2-2|=0):
f(2) = |0| - 2^{2} + 4\cdot 2 = 0 - 4 + 8 = 4.
Para x=\frac{5}{2} (usa-se o ramo \!x\ge 2, expressão \!-x^{2}+5x-2):
f\!\Big(\frac{5}{2}\Big) = -\Big(\frac{5}{2}\Big)^{2} + 5\cdot\frac{5}{2} - 2 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 2 = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} - \frac{8}{4} = \frac{17}{4}.
Observação simpática: os pontos \frac{3}{2} e \frac{5}{2} têm o mesmo valor de função \frac{17}{4}.

Resposta

\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{17}{4}\right)
(2,4)
\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{17}{4}\right)

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