Para cada uma das funções dadas abaixo, encontre o máximo e mínimo (globais) no intervalo indicado. Ao fim da sua resposta, diga também quais são os máximos e mínimos locais da função no interior do intervalo dado.
f(x)=x^{4}-4 x^{3}+4 x^{2}+2 em [-1,1]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+2 e pede:
  • Encontrar o máximo global e o mínimo global de f no intervalo [-1,1].
  • Ao fim, dizer quais são os máximos e mínimos locais da função no interior do intervalo (isto é, em (-1,1)).
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita é f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+2.
  • O intervalo considerado é [-1,1].
  • Para procurar extremos em intervalo fechado, precisamos checar pontos críticos no interior e também os extremos nos pontos finais do intervalo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \,f'(x)\, da função passo a passo (regra básica: derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-4x^{3}\bigr)=-12x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=8x,\qquad \frac{d}{dx}(2)=0.
Somando:
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+8x.
Agora fatoramos f'(x) para encontrar facilmente as raízes:
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+8x=4x\bigl(x^{2}-3x+2\bigr).
O trinômio \,x^{2}-3x+2\, fatoriza-se como (x-1)(x-2) (porque 1+2=3 e 1\cdot2=2). Portanto
f'(x)=4x(x-1)(x-2).

Passo 3

As soluções de f'(x)=0 são x=0, x=1 e x=2. Essas são os pontos críticos (onde a derivada é zero). Observações importantes para nosso intervalo [-1,1]:
  • x=0 está no interior do intervalo (-1,1).
  • x=1 é o limite direito do intervalo (é um extremo do intervalo).
  • x=2 está fora do intervalo e, portanto, não entra como candidato aqui.
Como estamos procurando extremos globais em um intervalo fechado, os candidatos onde os extremos podem ocorrer são:
  • os pontos críticos no interior: x=0,
  • os pontos finais do intervalo: x=-1 e x=1.

Passo 4

Vamos avaliar f em cada candidato. Faço as contas passo a passo.
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{4}-4(-1)^{3}+4(-1)^{2}+2.
Calculando termo a termo:
(-1)^{4}=1,\quad -4(-1)^{3}=-4(-1)=4,\quad 4(-1)^{2}=4.
Somando:
f(-1)=1+4+4+2=11.
Para x=0:
f(0)=0^{4}-4\cdot 0^{3}+4\cdot 0^{2}+2=2.
Para x=1:
f(1)=1^{4}-4\cdot1^{3}+4\cdot1^{2}+2=1-4+4+2=3.
Resumo dos valores:
f(-1)=11,\qquad f(0)=2,\qquad f(1)=3.

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
11\quad(=f(-1))\;>\;3\quad(=f(1))\;>\;2\quad(=f(0)).
Logo, no intervalo [-1,1]:
  • o maior valor (máximo global) é 11 em x=-1;
  • o menor valor (mínimo global) é 2 em x=0.

Passo 6

Agora identificamos os máximos e mínimos locais no interior (-1,1). Já vimos que o único ponto crítico no interior é x=0. Para classificar, uso a segunda derivada ou análise do sinal de f'(x). Vou calcular a segunda derivada e avaliá-la em x=0.
Derivando f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-12x^{2}+8x\bigr)=12x^{2}-24x+8.
Avalio em x=0:
f''(0)=12\cdot 0^{2}-24\cdot 0+8=8>0.
Regra: se f''(x_{0})>0, então f tem mínimo local em x_{0}. Portanto x=0 é um ponto de mínimo local. Não há outros pontos críticos dentro de (-1,1), logo não há máximos locais no interior.

Resposta

Máximo global: f(-1)=11
Mínimo global: f(0)=2
Máximos locais no interior de (-1,1): nenhum
Mínimos locais no interior de (-1,1): x=0, com f(0)=2

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