Para cada uma das funções dadas abaixo, encontre o máximo e mínimo (globais) no intervalo indicado. Ao fim da sua resposta, diga também quais são os máximos e mínimos locais da função no interior do intervalo dado.
em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Encontrar o máximo global e o mínimo global de
no intervalo . - Ao fim, dizer quais são os máximos e mínimos locais da função no interior do intervalo (isto é, em
).
Informações relevantes dadas:
- A função explícita é
. - O intervalo considerado é
. - Para procurar extremos em intervalo fechado, precisamos checar pontos críticos no interior e também os extremos nos pontos finais do intervalo.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
da função passo a passo (regra básica: derivada de
é
):
Derivando termo a termo:
Somando:
Agora fatoramos
para encontrar facilmente as raízes:
O trinômio
fatoriza-se como
(porque
e
). Portanto
Passo 3
As soluções de
são
,
e
. Essas são os pontos críticos (onde a derivada é zero). Observações importantes para nosso intervalo
:
-
está no interior do intervalo . -
é o limite direito do intervalo (é um extremo do intervalo). -
está fora do intervalo e, portanto, não entra como candidato aqui.
Como estamos procurando extremos globais em um intervalo fechado, os candidatos onde os extremos podem ocorrer são:
- os pontos críticos no interior:
, - os pontos finais do intervalo:
e .
Passo 4
Vamos avaliar
em cada candidato. Faço as contas passo a passo.
Para
:
Calculando termo a termo:
Somando:
Para
:
Para
:
Resumo dos valores:
Passo 5
Comparando os valores obtidos:
Logo, no intervalo
:
- o maior valor (máximo global) é
em ; - o menor valor (mínimo global) é
em .
Passo 6
Agora identificamos os máximos e mínimos locais no interior
. Já vimos que o único ponto crítico no interior é
. Para classificar, uso a segunda derivada ou análise do sinal de
. Vou calcular a segunda derivada e avaliá-la em
.
Derivando
:
Avalio em
:
Regra: se
, então
tem mínimo local em
. Portanto
é um ponto de mínimo local. Não há outros pontos críticos dentro de
, logo não há máximos locais no interior.
Resposta
Máximo global:
Mínimo global:
Máximos locais no interior de
: nenhum
Mínimos locais no interior de
:
, com