Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real
está no conjunto imagem da função
somente quando a curva de nível de
, correspondente a
, é não vazia.)
5.
.
5.
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente descubra o domínio (onde ela existe), desenhe algumas curvas de nível (ou seja, as soluções de
para alguns valores de
) e, a partir daí, determine o conjunto-imagem. Vamos usar álgebra para achar o domínio e resolver a equação
para descrever cada curva de nível.
Passo 2
Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Logo,
Portanto o domínio é
Passo 3
Para as curvas de nível, impomos
e multiplicamos ambos os lados por
, obtendo
Daí surgem dois casos:
- Se
, então e , e obtemos a reta exceto o ponto que não está no domínio. - Se
, a equação vira , ou seja . Isso é o eixo- , retirando o ponto . - Se
, a equação vira , ou seja . Isso é o eixo- , retirando o ponto .
Passo 4
Escolhendo quatro valores de
e esboçando no plano
:
-
reta (diagonal de 45°), sem o ponto . -
reta (eixo- ), sem . -
reta (eixo- ), sem . -
reta , sem o ponto .
Todas são retas que “pivotam” na origem, mas a origem está excluída do domínio.
Passo 5
O conjunto-imagem de
é o conjunto de todos os valores
para os quais a curva de nível
é não vazia. Vimos que para qualquer
há sempre uma reta não vazia (salvo o ponto
, que não importa para esvaziar a curva). Logo
Resposta
Domínio:
\nConjunto-imagem: