Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real k está no conjunto imagem da função f somente quando a curva de nível de f, correspondente a z=k, é não vazia.)
5. f(x, y)=x-yx+y.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=x-yx+y
que a gente descubra o domínio (onde ela existe), desenhe algumas curvas de nível (ou seja, as soluções de f(x,y)=k para alguns valores de k) e, a partir daí, determine o conjunto-imagem. Vamos usar álgebra para achar o domínio e resolver a equação f(x,y)=k para descrever cada curva de nível.

Passo 2

Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Logo,
x+yneq0
Portanto o domínio é
(x,y)inR^2mid x+yneq0

Passo 3

Para as curvas de nível, impomos
x-yx+y=k
e multiplicamos ambos os lados por x+y, obtendo
x - y = k(x+y) Longrightarrow x(1-k)=y(1+k)
Daí surgem dois casos:
  • Se kneqpm1, então 1-kneq0 e 1+kneq0, e obtemos a reta y = 1-k1+k,x, exceto o ponto (0,0) que não está no domínio.
  • Se k=1, a equação vira 0=2y, ou seja y=0. Isso é o eixo- x, retirando o ponto (0,0).
  • Se k=-1, a equação vira 2x=0, ou seja x=0. Isso é o eixo- y, retirando o ponto (0,0).

Passo 4

Escolhendo quatro valores de k e esboçando no plano (x,y):
  1. k=0 Rightarrow reta y=x (diagonal de 45°), sem o ponto (0,0).
  2. k=1 Rightarrow reta y=0 (eixo- x), sem (0,0).
  3. k=-1 Rightarrow reta x=0 (eixo- y), sem (0,0).
  4. k=2 Rightarrow reta y=-tfrac13x, sem o ponto (0,0).
Todas são retas que “pivotam” na origem, mas a origem está excluída do domínio.

Passo 5

O conjunto-imagem de f é o conjunto de todos os valores k para os quais a curva de nível f(x,y)=k é não vazia. Vimos que para qualquer kinR há sempre uma reta não vazia (salvo o ponto (0,0), que não importa para esvaziar a curva). Logo
Im(f)=R

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid x+yneq0\nConjunto-imagem: R

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