Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real
está no conjunto imagem da função
somente quando a curva de nível de
, correspondente a
, é não vazia.)
7.
.
7.
Passo 1
O enunciado pede o domínio, o conjunto-imagem e o esboço de pelo menos quatro curvas de nível da função
Vamos usar noções de domínio de função de duas variáveis, resolver
para traçar as curvas de nível e determinar o alcance de
.
Passo 2
Para o domínio, basta exigir que o denominador não zere, ou seja
Logo
Passo 3
Para o conjunto-imagem, note que
Além disso, atinge-se
(tomando
) e
(tomando
), e qualquer
também é atingido. Portanto
Passo 4
A curva de nível para um valor real
satisfaz
Se
obtemos
. Se
obtemos
. Se
,
um par de retas passando pela origem (calculemos as inclinações).
Passo 5
Escolhendo quatro valores de
e descrevendo suas curvas de nível:
Cada uma dessas equações representa linhas retas que esboçam como as curvas de nível se alternam entre o eixo vertical, várias inclinações e o eixo horizontal.
Resposta
Domínio:
Conjunto-imagem:
Curvas de nível (quatro exemplos):