Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real k está no conjunto imagem da função f somente quando a curva de nível de f, correspondente a z=k, é não vazia.)
7. varphi(x, y)=x^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o domínio, o conjunto-imagem e o esboço de pelo menos quatro curvas de nível da função
varphi(x,y)=x^2x^2+y^2
Vamos usar noções de domínio de função de duas variáveis, resolver varphi(x,y)=k para traçar as curvas de nível e determinar o alcance de k.

Passo 2

Para o domínio, basta exigir que o denominador não zere, ou seja
x^2+y^2neq0
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D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0

Passo 3

Para o conjunto-imagem, note que
0<= x^2<= x^2+y^2Longrightarrow0<=x^2x^2+y^2<=1
Além disso, atinge-se 0 (tomando x=0,yneq0) e 1 (tomando y=0,xneq0), e qualquer kin(0,1) também é atingido. Portanto
Im(varphi)=[0,1]

Passo 4

A curva de nível para um valor real k satisfaz
x^2x^2+y^2=k Long<=ftrightarrow (1-k)x^2=k,y^2
Se k=0 obtemos x=0. Se k=1 obtemos y=0. Se kin(0,1),
y=pmraiz1-kk,x,
um par de retas passando pela origem (calculemos as inclinações).

Passo 5

Escolhendo quatro valores de k e descrevendo suas curvas de nível:
k=0implies x=0
k=1implies y=0
k=tfrac12implies y=pm x
k=tfrac14implies y=pmraiz3,x
Cada uma dessas equações representa linhas retas que esboçam como as curvas de nível se alternam entre o eixo vertical, várias inclinações e o eixo horizontal.

Resposta

Domínio:
D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0
Conjunto-imagem:
Im(varphi)=[0,1]
Curvas de nível (quatro exemplos):
k=0implies x=0
k=1implies y=0
k=tfrac12implies y=pm x
k=tfrac14implies y=pmraiz3,x

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