Calcule a equação da reta tangente ao gráfico no ponto P dado.
y=sen^2 x, P é o ponto do gráfico com abscissa x=pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de y=sin^2 x no ponto de abscissa x0=pi/4. Para isso precisamos de dois ingredientes: o ponto P=(x0,y0) da curva e a inclinação m=f'(x0). Depois usamos a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f(x)=sin^2 x por regra da cadeia. Se u(x)=sin x, então f(x)=u(x)^2 e
f'(x)=2,u(x),u'(x)=2sin xcos x=sin(2x)

Passo 3

Agora avaliamos em x0=pi/4:
m=f'l(tfracpi4r)=sinl(2cdottfracpi4r)=sinl(tfracpi2r)=1
A ordenada do ponto é
y0=fl(tfracpi4r)=sin^2l(tfracpi4r)=l(tfracraiz22r)^2=tfrac12,
logo P=l(tfracpi4,tfrac12r).

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação
y-y0=m,(x-x0)
e substituímos m=1, x0=tfracpi4, y0=tfrac12:
y-tfrac12=1l(x-tfracpi4r) Longrightarrow y=x-tfracpi4+tfrac12

Resposta

A equação da reta tangente é
y = x - pi4 + 12

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