Seja f(x)=ln (3-x^2).
(a) Determine o maior domínio possível D tal que possamos definir a função f: D R pela expressão acima.
(b) Calcule os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo dos x.
(c) Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f, se o ponto de tangência tem abscissa x=a (onde a in D )?
(d) Mostre que há precisamente uma reta tangente a este gráfico que é paralela à reta y=x. Determine a equação desta reta tangente.

Passo 1

O enunciado trata da função f(x)=lnl(3 - x^2r). Vamos precisar de:
1. Condição de existência do logaritmo para achar o domínio.
2. Resolver f(x)=0 para os pontos de interseção com o eixo x.
3. Calcular a derivada f'(x) e usar a fórmula da reta tangente para abscissa x=a.
4. Impor que a reta tangente tenha coeficiente angular igual a 1 (reta y=x) e verificar quantas soluções caem no domínio.

Passo 2

Para existir lnl(3 - x^2r) precisamos ter
3 - x^2 > 0
Isso é equivalente a
-,raiz3 < x < raiz3
Logo o maior domínio possível é
D = l(-raiz3,,raiz3r)

Passo 3

Os pontos de interseção com o eixo dos x ocorrem quando f(x)=0, ou seja
lnl(3 - x^2r) = 0 Longrightarrow 3 - x^2 = 1 Longrightarrow x^2 = 2 Longrightarrow x = pmraiz2
Ambos estão em D, então as interseções são
l(raiz2,,0r) e l(-raiz2,,0r)

Passo 4

Calculamos a derivada usando a regra de cadeia:
f'(x) = ddxlnl(3 - x^2r) = -2x3 - x^2
A reta tangente em x=a tem coeficiente m = f'(a) e passa por l(a,,ln(3 - a^2)r). Portanto sua equação é
y - lnl(3 - a^2r) = -2a3 - a^2,l(x - ar)

Passo 5

Queremos a reta tangente paralela a y=x, isto é, com coeficiente 1. Então impomos
f'(a) = 1 Longrightarrow -2a3 - a^2 = 1 Longrightarrow -2a = 3 - a^2 Longrightarrow a^2 - 2a - 3 = 0
Essa quadrática dá a = 3 ou a = -1. Como 3notin D e -1in D, há exatamente uma reta tangente válida, no ponto a=-1. Substituindo em 3 - a^2 obtemos 3 - (-1)^2 = 2, logo o ponto é l(-1,ln2r) e a reta (com coeficiente 1) fica
y - ln2 = 1,(x + 1) Longrightarrow y = x + 1 + ln2

Resposta

(a) D = l(-raiz3,,raiz3r)
(b) Interseções em l(raiz2,0r) e l(-raiz2,0r)
(c) Reta tangente em x=a:
y - lnl(3 - a^2r) = -2a3 - a^2,(x - a)
(d) Há uma única tangente paralela a y=x, obtida para a=-1, com equação
y = x + 1 + ln2

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