Seja
.
(a) Determine o maior domínio possível
tal que possamos definir a função
pela expressão acima.
(b) Calcule os pontos de interseção do gráfico de
com o eixo dos
.
(c) Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de
, se o ponto de tangência tem abscissa
(onde
)?
(d) Mostre que há precisamente uma reta tangente a este gráfico que é paralela à reta
. Determine a equação desta reta tangente.
(a) Determine o maior domínio possível
(b) Calcule os pontos de interseção do gráfico de
(c) Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de
(d) Mostre que há precisamente uma reta tangente a este gráfico que é paralela à reta
Passo 1
O enunciado trata da função
. Vamos precisar de:
. Condição de existência do logaritmo para achar o domínio.
. Resolver
para os pontos de interseção com o eixo
.
. Calcular a derivada
e usar a fórmula da reta tangente para abscissa
.
. Impor que a reta tangente tenha coeficiente angular igual a
(reta
) e verificar quantas soluções caem no domínio.
Passo 2
Para existir
precisamos ter
Isso é equivalente a
Logo o maior domínio possível é
Passo 3
Os pontos de interseção com o eixo dos
ocorrem quando
, ou seja
Ambos estão em
, então as interseções são
Passo 4
Calculamos a derivada usando a regra de cadeia:
A reta tangente em
tem coeficiente
e passa por
. Portanto sua equação é
Passo 5
Queremos a reta tangente paralela a
, isto é, com coeficiente
. Então impomos
Essa quadrática dá
ou
. Como
e
, há exatamente uma reta tangente válida, no ponto
. Substituindo em
obtemos
, logo o ponto é
e a reta (com coeficiente
) fica
Resposta
(a)
(b) Interseções em e
(c) Reta tangente em :
(b) Interseções em
(c) Reta tangente em
(d) Há uma única tangente paralela a
, obtida para
, com equação