Para cada uma das funções dadas a seguir,determine o valor máximo e valor mínimo(absolutos), se existirem:
f:[-2,3) R ,dada por f(x)=x^2-4

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f:[-2,3)toR definida por
f(x)=x^2-4
Como f é contínua em cada ponto do domínio porém o intervalo é fechado em -2 e aberto em 3, precisamos:
  1. calcular pontos críticos via derivada;
  2. avaliar f em -2 e nesses pontos críticos;
  3. analisar o comportamento de f quando xto3^-.

Passo 2

Calculamos a derivada de f para encontrar pontos críticos:
f'(x)=2x
Igualando a zero, obtemos o ponto crítico
2x=0Longrightarrow x=0,
que está no intervalo [-2,3).

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos a extremos:
f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0,
f(0)=0^2-4=-4
Como o extremo direito x=3 não pertence ao domínio, examinamos o limite
limxto3^-f(x)=limxto3^-(x^2-4)=9-4=5,
mas esse valor não é atingido por f em [-2,3).

Passo 4

Comparando os valores obtidos em pontos onde f está definida:
f(0)=-4, f(-2)=0,
e lembrando que f(x)<5 para todo x<3, concluímos que o menor valor de f é -4, atingido em x=0.

Passo 5

Para o máximo absoluto, embora sup f([-2,3))=5, não existe x no domínio tal que f(x)=5. Logo, não há valor máximo absoluto.

Resposta

O valor mínimo absoluto é -4, atingido em x=0.
Não existe valor máximo absoluto.

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