Para cada uma das funções dadas a seguir,determine:intervalos onde são crescentes,decres- centes ou constantes,se são pares,ímpares ou nem par nem ímpar,conjunto imagem e esboce o gráfico.
h(x)= |x| & se -1 <= x <= 3 x+32 & se x<-1 e x>3

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função hcolon RtoR definida por
h(x)= lvert xrvert, & -1<= x<= 3, x+32, & x< -1 ou x>3
Vamos determinar seus intervalos de crescimento e decrescimento, verificar se é par, ímpar ou nenhum dos dois, encontrar a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo principal envolve análise de monotonicidade em função por partes, teste de simetria e cálculo de imagem.

Passo 2

Identificamos as expressões e seus domínios parciais:
— Para x< -1 e para x>3, vale h(x)=tfracx+32.
— Para -1<= x<=3, vale h(x)=lvert xrvert, que por sua vez se desdobra em duas subfaixas: -1<= x<0 (onde lvert xrvert=-x) e 0<= x<=3 (onde lvert xrvert=x).

Passo 3

Analisamos monotonicidade em cada trecho usando a derivada (ou simplesmente a inclinação das retas):
— Em (-infty,-1), h(x)=tfracx+32 tem h'(x)=tfrac12>0, logo é crescente.
— Em (-1,0), h(x)=-x tem h'(x)=-1<0, logo é decrescente.
— Em (0,3), h(x)=x tem h'(x)=1>0, logo é crescente.
— Em (3,infty), de novo h(x)=tfracx+32 com h'(x)=tfrac12>0, logo é crescente.
Portanto, h é crescente em (-infty,-1) e em [0,infty), decrescente em [-1,0] e não tem intervalo de constância.

Passo 4

Para testar paridade, comparamos h(-x) com h(x) e -h(x). Por exemplo, para x=2 temos
h(2)=lvert 2rvert=2, h(-2)=-2+32=12,
e claramente tfrac12neq2 e tfrac12neq-2. Logo h não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Para achar a imagem, observamos:
— Em (-infty,-1), tfracx+32 varia de -infty (quando xto-infty) até h(-1)=1.
— Em [-1,0], lvert xrvert varia de 1 até 0.
— Em [0,3], lvert xrvert varia de 0 até 3.
— Em (3,infty), tfracx+32 varia de 3 até +infty.
Combinando tudo, Im(h)=R.

Passo 6

O esboço do gráfico fica assim:
— Para x< -1, uma reta de inclinação tfrac12 que passa por (-1,1).
— De -1 a 3, um “V” com vértice em (0,0) e pontas em (-1,1) e (3,3).
— Para x>3, outra reta de inclinação tfrac12 saindo de (3,3) e estendendo-se a +infty.
Em todos os pontos de transição não há saltos, pois as peças se conectam continuamente.

Resposta

Crescente em (-infty,-1) e em [0,infty).
Decrescente em [-1,0].
Não é nem par nem ímpar.
Im(h)=R.
O gráfico é composto por duas retas de inclinação tfrac12 para x< -1 e x>3, encadeadas por um trecho em “V” entre -1 e 3.

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