Para cada uma das funções dadas a seguir,determine:intervalos onde são crescentes,decres- centes ou constantes,se são pares,ímpares ou nem par nem ímpar,conjunto imagem e esboce o gráfico.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a função
definida por
Vamos determinar seus intervalos de crescimento e decrescimento, verificar se é par, ímpar ou nenhum dos dois, encontrar a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo principal envolve análise de monotonicidade em função por partes, teste de simetria e cálculo de imagem.
Passo 2
Identificamos as expressões e seus domínios parciais:
— Para e para
, vale
.
— Para , vale
, que por sua vez se desdobra em duas subfaixas:
(onde
) e
(onde
).
— Para
— Para
Passo 3
Analisamos monotonicidade em cada trecho usando a derivada (ou simplesmente a inclinação das retas):
— Em ,
tem
, logo é crescente.
— Em ,
tem
, logo é decrescente.
— Em ,
tem
, logo é crescente.
— Em , de novo
com
, logo é crescente.
Portanto, é crescente em
e em
, decrescente em
e não tem intervalo de constância.
— Em
— Em
— Em
— Em
Portanto,
Passo 4
Para testar paridade, comparamos
com
e
. Por exemplo, para
temos
e claramente
e
. Logo
não é nem par nem ímpar.
Passo 5
Para achar a imagem, observamos:
— Em ,
varia de
(quando
) até
.
— Em ,
varia de
até
.
— Em ,
varia de
até
.
— Em ,
varia de
até
.
Combinando tudo, .
— Em
— Em
— Em
— Em
Combinando tudo,
Passo 6
O esboço do gráfico fica assim:
— Para , uma reta de inclinação
que passa por
.
— De a
, um “V” com vértice em
e pontas em
e
.
— Para , outra reta de inclinação
saindo de
e estendendo-se a
.
Em todos os pontos de transição não há saltos, pois as peças se conectam continuamente.
— Para
— De
— Para
Em todos os pontos de transição não há saltos, pois as peças se conectam continuamente.
Resposta
Crescente em
e em
.
Decrescente em .
Não é nem par nem ímpar.
.
O gráfico é composto por duas retas de inclinação para
e
, encadeadas por um trecho em “V” entre
e
.
Decrescente em
Não é nem par nem ímpar.
O gráfico é composto por duas retas de inclinação