Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=lang<= e^z, e^z, e^x yrang<=

Passo 1

O enunciado pede para calcular (a) o rotacional e (b) o divergente do campo
F(x,y,z)=lang<= e^z,,e^z,,e^xyrang<=.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: usamos definições de derivadas parciais, de rotacional ( nablatimesF) e de divergente ( nablacdotF).

Passo 2

Lembrando a fórmula do rotacional para F=lang<= F1,F2,F3rang<=:
nablatimesF =l(partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial yr)
Vamos aplicar isso a F1=e^z, F2=e^z e F3=e^xy.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
partial F3partial y =partialpartial ye^xy=x,e^xy,
partial F2partial z =partialpartial ze^z=e^z,
partial F1partial z =partialpartial ze^z=e^z,
partial F3partial x =partialpartial xe^xy=y,e^xy,
partial F2partial x =partialpartial xe^z=0,
partial F1partial y =partialpartial ye^z=0

Passo 4

Substituindo na fórmula do rotacional:
nablatimesF =l(x,e^xy-e^z,;e^z-y,e^xy,;0r)

Passo 5

Agora o divergente, cuja definição é
nablacdotF =partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z
Aqui
partial F1/partial x=0,
partial F2/partial y=0,
partial F3/partial z=0.
Logo
nablacdotF=0+0+0=0.

Resposta

(a) nablatimesF=lang<= x,e^xy-e^z,;e^z-y,e^xy,;0rang<=
(b) nablacdotF=0

Exercícios relacionados