Para cada uma das funções dadas a seguir,determine:intervalos onde são crescentes,decres- centes ou constantes,se são pares,ímpares ou nem par nem ímpar,conjunto imagem e esboce o gráfico.
f(x)=|x^2-4|

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=lvert x^2-4rvert
determinar onde ela é crescente, decrescente ou constante, se é par, ímpar ou nem par nem ímpar, seu conjunto-imagem e esboçar o gráfico.
Conteúdo usado: definição de valor absoluto, estudo de monotonicidade por derivada em cada ramo, paridade e análise de imagem.

Passo 2

Para ver se f é par, ímpar ou nem, note que
f(-x)=lvert(-x)^2-4rvert=lvert x^2-4rvert=f(x)
Logo f é par.

Passo 3

Como lvert x^2-4rvert>=0 para todo x e atinge zero se, e somente se, x^2-4=0, isto é, x=pm2, o conjunto-imagem é
Im(f)=[0,infty)

Passo 4

Para estudar monotonicidade dividimos em dois casos (ramo interno e externo):
  1. Se lvert xrvert>=2 então x^2-4>=0 e f(x)=x^2-4, f'(x)=2x
  2. Se lvert xrvert<=2 então x^2-4<=0 e f(x)=4-x^2, f'(x)=-2x
Analisando o sinal de f':
  • Em (-infty,-2): usamos f'(x)=2x<0 implies decrescente.
  • Em (-2,0): usamos f'(x)=-2x>0 implies crescente.
  • Em (0,2): usamos f'(x)=-2x<0 implies decrescente.
  • Em (2,infty): usamos f'(x)=2x>0 implies crescente.
Não há trechos onde f'equiv0 em intervalo aberto, logo não há parte constante.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • É simétrico em relação ao eixo y.
  • No interior [-2,2] é um “teto” de parábola invertida 4-x^2, com valor máximo f(0)=4.
  • Em (-infty,-2]cup[2,infty) é a superfície de parábola normal x^2-4, tocando o eixo x em (pm2,0) e crescendo sem limite na direção das pontas.

Resposta

Crescente em (-2,0) cup( 2,infty).
Decrescente em (-infty,-2) cup( 0,2).
Não há intervalo constante.
f é par.
Im(f)=[0,infty)
Gráfico: simétrico, pico em (0,4), zeros em (pm2,0), caindo até (pm2,0) e subindo depois como parábola.

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