Para cada uma das funções quadráticas dadas a seguir,determine:raízes(se existirem),vértice, eixo de simetria,conjunto imagem e esboce o gráfico.
h(x)=(x-1)(3 x-2)

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
h(x) = (x-1)(3x-2)
e pede as raízes, o vértice, o eixo de simetria, o conjunto imagem e um esboço do gráfico.
Conteúdo: estudo de parábolas (forma fatorada e forma padrão), cálculo de raízes, vértice e imagem.

Passo 2

Vamos primeiro expandir h(x) para a forma padrão ax^2+bx+c.
h(x) = (x-1)(3x-2) = 3x^2 -2x -3x +2 = 3x^2 -5x +2
Portanto a=3, b=-5, c=2.

Passo 3

As raízes vêm da forma fatorada, resolvendo
(x-1)(3x-2)=0
Logo
x-1=0Rightarrow x=1,
3x-2=0Rightarrow x=tfrac23

Passo 4

O vértice l(xv,yvr) tem
xv = -b2a = --52cdot3 = 56
E
yv = hl(tfrac56r) = (,tfrac56-1,)l(3cdottfrac56-2r) = l(-tfrac16r)l(tfrac52-2r) = -tfrac16cdottfrac12 = -tfrac112
Portanto o vértice é l(tfrac56,-tfrac112r).

Passo 5

Como a=3>0, a parábola abre para cima e:
  • eixo de simetria: x = 56
  • conjunto imagem:
    o valor mínimo é yv=-tfrac112, então Im(h) = l[-tfrac112,;inftyr)

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • marque os pontos de raízes e ;
  • marque o vértice ;
  • desenhe a parábola abrindo para cima com eixo de simetria vertical em .

Resposta

raízes: x=1 e x=tfrac23
vértice: l(tfrac56,-tfrac112r)
eixo de simetria: x=tfrac56
conjunto imagem: l[-tfrac112,inftyr)

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