Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=e^z sen y i+e^z cos y j+k

Passo 1

O enunciado pede o rotacional nablatimesF e o divergente nablacdotF do campo
F(x,y,z)=e^zsin y,i+e^zcos y,j+k
O conteúdo é cálculo vetorial: usaremos derivadas parciais e as definições
nabla=i,partialx+j,partialy+k,partialz,
nablatimesF e nablacdotF.

Passo 2

Definimos as componentes
F1=e^zsin y, F2=e^zcos y, F3=1
Pela definição
nablatimesF =(partialyF3-partialzF2),i +(partialzF1-partialxF3),j +(partialxF2-partialyF1),k,
calculamos as derivadas:
partialyF3=0, partialzF2=e^zcos y,
partialzF1=e^zsin y, partialxF3=0,
partialxF2=0, partialyF1=e^zcos y
Logo,
nablatimesF =(0 - e^zcos y),i +(e^zsin y - 0),j +(0 - e^zcos y),k =-e^zcos y,i+e^zsin y,j-e^zcos y,k

Passo 3

O divergente é
nablacdotF =partialxF1+partialyF2+partialzF3
Já temos
partialxF1=0, partialyF2=-e^zsin y, partialzF3=0,
então
nablacdotF=0+(-e^zsin y)+0=-e^zsin y

Resposta

(a) nablatimesF=-e^zcos y,i+e^zsin y,j-e^zcos y,k
(b) nablacdotF=-e^zsin y

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