Mostre que integralC F cdot d r=2 cdot Área (D), onde C é a curva fechada simples, C^1 por partes, fronteira de uma região fechada D e F(x, y)=(2 x+y, 3 x-y)

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que, para a curva fechada simples C que é fronteira de uma região fechada D, vale
integralCvec Fcdot dvec r ;=;2;Área(D), Á
onde vec F(x,y)=(2x+y,;3x-y). Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre D.

Passo 2

Escrevemos a integral de linha na forma usual
integralCvec Fcdot dvec r ;=;integralCP,dx + Q,dy,
com
P(x,y)=2x+y, Q(x,y)=3x-y

Passo 3

O Teorema de Green diz que, se C é a fronteira de D positivamente orientada, então
integralCP,dx+Q,dy ;=; integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(3x-y)=3, partial Ppartial y =partialpartial y(2x+y)=1
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =3-1=2

Passo 5

Substituindo no Teorema de Green, obtemos
integralCvec Fcdot dvec r =integral duplaD2,dA =2;integral duplaDdA =2;Área(D) Á

Resposta

integralCvec Fcdot dvec r =2;Área(D)Á

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