Mostre que
Área
, onde
é a curva fechada simples,
por partes, fronteira de uma região fechada
e
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre que, para a curva fechada simples
que é fronteira de uma região fechada
, vale
onde
. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre
.
Passo 2
Escrevemos a integral de linha na forma usual
com
Passo 3
O Teorema de Green diz que, se
é a fronteira de
positivamente orientada, então
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais:
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Passo 5
Substituindo no Teorema de Green, obtemos