Para cada uma das funções dadas a seguir,determine:intervalos onde são crescentes,decres- centes ou constantes,se são pares,ímpares ou nem par nem ímpar,conjunto imagem e esboce o gráfico.
p(x)= -x^2 & se -2 <= x <= 2 -4 & se x<-2 e x>2

Passo 1

O enunciado define a função
Precisamos estudar (1) onde é par, ímpar ou nenhum, (3) seu conjunto-imagem e (4) fazer um esboço do gráfico.

Passo 2

Para a monotonicidade, note:
  • Para -2<x<2 temos p(x)=-x^2 com derivada
p'(x) = -2x
Em -2<x<0, x<0 implica p'(x)>0, logo p é estritamente crescente.
Em 0<x<2, x>0 implica p'(x)<0, logo p é estritamente decrescente.
  • Para x<-2 ou x>2, p(x)=-4 é constante, pois a derivada vale zero nesses intervalos.
Portanto:
crescente em [-2,0], decrescente em [0,2], constante em (-infty,-2)cup(2,infty)

Passo 3

Para paridade, calculemos p(-x):
  • Se -2<= -x<=2, então -2<= x<=2 e p(-x)= -(-x)^2 = -x^2 = p(x).
  • Se -x<-2 ou -x>2, então x>2 ou x<-2 e p(-x)=-4=p(x).
Logo, p(-x)=p(x) para todo x, ou seja, p é par.

Passo 4

O conjunto-imagem vem de:
  • No trecho parabólico -2<= x<=2, -x^2 varia de -4 (em x=pm2) até 0 (em x=0).
  • Nos trechos externos, p(x)=-4.
Assim a imagem é
p(R) = [-4,0]

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Para x<-2 e x>2, traçar a reta horizontal y=-4.
  • Entre -2 e 2, desenhar a parábola invertida y=-x^2, que atinge o vértice (0,0) e toca (pm2,-4).
  • Em (pm2,-4) não há “salto” pois ambas as peças coincidem em valor e formam pontos fechados.

Resposta

cresce em [-2,0], decresce em [0,2], é constante em (-infty,-2)cup(2,infty);
é par;
imagem =[-4,0];
gráfico: reta y=-4 para |x|>2 e parábola invertida y=-x^2 em [-2,2].

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