Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=x e^z j+y e^z k

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y,z)=x e^z,j+y e^z,k,
isto é,
,F1=0, ,F2=x e^z e ,F3=y e^z.
O conteúdo é cálculo vetorial: usaremos as definições de rotacional nablatimesF e divergente nablacdotF.

Passo 2

Para calcular o rotacional, montamos o determinante
nabla times F = i & j & k partialx & partialy & partialz 0 & x e^z & y e^z
O componente em i é
partialy(F3)-partialz(F2) =partialy(y e^z)-partialz(x e^z) =e^z-x e^z=(1-x)e^z
O componente em j é
-l(partialx(F3)-partialz(F1)r) =-l(0-0r)=0
O componente em k é
partialx(F2)-partialy(F1) =partialx(x e^z)-0 =e^z
Logo
nabla times F =(1-x)e^z,i+0,j+e^z,k

Passo 3

Para o divergente, usamos
nabla cdot F =partialx(F1)+partialy(F2)+partialz(F3) =0+0+partialz(y e^z) =y e^z

Resposta

(a) nabla times F=(1-x)e^z,i+e^z,k
(b) nabla cdot F=y e^z

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