Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule a derivada f^prime(x).
f(x)=ln (raiz2-x3-x)

Passo 1

A gente quer derivar a função
f(x)=lnl(raiz2-x3-xr)
O conteúdo da matéria aqui é derivada de funções compostas: propriedade de logaritmo, raiz quadrada e razão. Vamos usar a regra do ln, a regra da cadeia e a simplificação  lnraizu=tfrac12ln u.

Passo 2

Primeiro simplificamos usando a propriedade do ln e da raiz quadrada:
f(x)=lnraiz2-x3-x=12lnl(2-x3-xr)

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de ln de uma razão. Lembrando que ddxln(g(x))=g'(x)/g(x) e que ln(tfracab)=ln a-ln b. Então:
f'(x)=12l(ddxln(2-x)-ddxln(3-x)r)

Passo 4

Calculamos cada derivada interna com a regra da cadeia, sabendo que ddx(2-x)=-1 e ddx(3-x)=-1:
f'(x)=12l(-12-x--13-xr)=12l(-12-x+13-xr)

Passo 5

Por fim, juntamos os termos num denominador comum
f'(x)=12; rac- (3-x)+(2-x)(2-x)(3-x) =12; rac-1(2-x)(3-x) = -12(2-x)(3-x)

Resposta

-12(2-x)(3-x)

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