Verifique se as seguintes equações diferenciais são de coeficientes homogêneos e resolva as que forem:
Equação:
y^{\prime}=\left(2 x+y^{2}\right) / x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial y'=2x+y^2xy. Ele pede para verificarmos se ela é de coeficientes homogêneos e, caso seja, resolvê-la.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito em termos mais simples, temos:
2x + y^2x y = 2xx y + y^2x y = 2y + yx

Passo 3

Para uma equação ser homogênea no sentido de funções homogêneas, o numerador e o denominador devem ser somas de termos todos do mesmo grau em x e y, de modo que o quociente dependa apenas de y/x. Aqui temos um termo 2/y, que não é função de y/x (equivaleria a um termo de grau -1 sozinho), e um termo y/x, que é homogêneo de grau zero. Como os graus não coincidem, a equação não é homogênea.
Logo, não podemos aplicar a substituição y=ux ou similares para resolver por coeficientes homogêneos.

Resposta

A equação não é de coeficientes homogêneos, portanto não se resolve por essa técnica.

Exercícios relacionados