Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f(x)=ln (sen x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=ln(sin x) e pede (a) o domínio e (b) a derivada de primeira ordem. Para o domínio, lembramos que ln(u) só faz sentido se u>0, então precisamos de sin x>0. Para a derivada, vamos usar a regra da cadeia: se f(x)=ln(u(x)), então f'(x)=u'(x)/u(x).

Passo 2

Resolvendo a desigualdade sin x>0: sabemos que o seno é positivo exatamente nos intervalos
(2kpi,,(2k+1)pi), kin Z
Logo o domínio de f é a união dessas fatias.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para a derivada de ln(sin x):
f'(x) = ddxl(ln(sin x)r) = (sin x)'sin x = cos xsin x = cot x

Resposta

Domínio: cupkinZ(2kpi,,(2k+1)pi).\nDerivada de primeira ordem: cot x.

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