Encontre as seguintes primitivas:
integral ln (x+raiz1+x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer a relação entre o logaritmo e a função arcsinh(x), e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Note que
arcsinh(x)=lnl(x+raiz1+x^2r)
Portanto podemos reescrever a integral original como
I = integral arcsinh(x),dx

Passo 3

Para integrar I=integral arcsinh(x),dx usamos integração por partes, escolhendo
u = arcsinh(x), dv = dx
Então
du = 1raiz1+x^2,dx, v = x
Pela fórmula de partes,
I = x,arcsinh(x) - integral xcdot1raiz1+x^2,dx

Passo 4

Foca agora na integral
integral xraiz1+x^2,dx
Use a substituição t = 1+x^2, de modo que dt = 2x,dx e x,dx = dt/2. Então
integral xraiz1+x^2,dx = integral 1raiztcdotdt2 = 12integral t^-tfrac12,dt = raizt = raiz1+x^2

Passo 5

Substituindo de volta em I, obtemos
I = x,arcsinh(x) - raiz1+x^2 + C
Por fim, voltando à forma do logaritmo,
arcsinh(x)=lnl(x+raiz1+x^2r),
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I = x,lnl(x+raiz1+x^2r) - raiz1+x^2 + C

Resposta

integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx = x,lnl(x+raiz1+x^2r) - raiz1+x^2 + C

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