Para cada uma das funções definidas abaixo, pede-se:
(f) A função é contínua em
? Justifique utilizando a definição de continuidade e teorema de existência de limites.
, em
.
(f) A função é contínua em
Passo 1
O enunciado apresenta a função por partes
f(x)=
e pede para verificar se é contínua em a=-1. O conteúdo é continuidade de funções em um ponto: precisamos usar a definição de continuidade e o teorema de existência de limites, ou seja, calcular as duas limites laterais em x→-1, checar se coincidem e se são iguais a f(-1).
f(x)=
e pede para verificar se é contínua em a=-1. O conteúdo é continuidade de funções em um ponto: precisamos usar a definição de continuidade e o teorema de existência de limites, ou seja, calcular as duas limites laterais em x→-1, checar se coincidem e se são iguais a f(-1).
Passo 2
Calculamos f(-1) usando a definição: como -1≥-1, usamos f(x)=x², logo f(-1)=(-1)²=1.
Passo 3
Calculamos o limite pela direita:
Passo 4
Calculamos o limite pela esquerda: para x< -1 vale f(x)=1-|x|. Como x é negativo, |x|=-x e então f(x)=1-(-x)=1+x. Logo
Passo 5
Pelo teorema de existência de limites, como as limites laterais são diferentes (direita=1 e esquerda=0), o limite
não existe. Consequentemente a condição de continuidade
não se satisfaz, e a função não é contínua em x=-1.
Resposta
A função não é contínua em x=-1, pois as limites laterais são diferentes (direita=1, esquerda=0), logo
não existe e não pode ser igual a f(-1)=1.