Para cada uma das funções definidas abaixo, pede-se:
(f) A função é contínua em x=a ? Justifique utilizando a definição de continuidade e teorema de existência de limites.
f(x)=llx^2, & se x >=-1 1-|x|, & se x<-1, em a=-1.

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)=
x^2, & x>= -1 1-|x|, & x<-1
e pede para verificar se é contínua em a=-1. O conteúdo é continuidade de funções em um ponto: precisamos usar a definição de continuidade e o teorema de existência de limites, ou seja, calcular as duas limites laterais em x→-1, checar se coincidem e se são iguais a f(-1).

Passo 2

Calculamos f(-1) usando a definição: como -1≥-1, usamos f(x)=x², logo f(-1)=(-1)²=1.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita:
limxto -1^+f(x)=limxto -1^+x^2=(-1)^2=1

Passo 4

Calculamos o limite pela esquerda: para x< -1 vale f(x)=1-|x|. Como x é negativo, |x|=-x e então f(x)=1-(-x)=1+x. Logo
limxto -1^-f(x)=limxto -1^-(1+x)=1+(-1)=0

Passo 5

Pelo teorema de existência de limites, como as limites laterais são diferentes (direita=1 e esquerda=0), o limite limxto -1f(x) não existe. Consequentemente a condição de continuidade limxto -1f(x)=f(-1) não se satisfaz, e a função não é contínua em x=-1.

Resposta

A função não é contínua em x=-1, pois as limites laterais são diferentes (direita=1, esquerda=0), logo limxto -1f(x) não existe e não pode ser igual a f(-1)=1.

Exercícios relacionados