Determine o zero da função, f(x)= x-0.8-0.2 sen(x), utilizando o Método de Newton, no intervalo [0, pi / 2] para 5 iterações com arredondamento padrão.

Passo 1

A questão pede pra gente encontrar o zero da função f(x)=x-0.8-0.2sin(x) no intervalo [0,pi/2] usando o Método de Newton em 5 iterações, arredondando cada novo xn ao padrão de 4 casas decimais.

Passo 2

O primeiro passo é anotar a derivada da função e a fórmula de iteração do Método de Newton. Derivando f(x):
f'(x)=1-0.2cos(x)
A fórmula de Newton é:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 3

Precisamos de um chute inicial x0 dentro de [0,pi/2]. Vou usar x0=1.0000, que está em [0,1.5708].

Passo 4

1ª iteração ( n=0 n=1 ):
f(x0)=1.0000-0.8-0.2sin(1.0000)=0.0317058
f'(x0)=1-0.2cos(1.0000)=0.8919395
x1=1.0000-0.03170580.8919395=0.96444670.9644

Passo 5

2ª iteração ( n=1 n=2 ):
f(0.9644)=0.9644-0.8-0.2sin(0.9644)=0.0001302
f'(0.9644)=1-0.2cos(0.9644)=0.8858874
x2=0.9644-0.00013020.8858874=0.96425300.9643

Passo 6

3ª iteração ( n=2 n=3 ):
f(0.9643)=0.0000380, f'(0.9643)=0.8858795
x3=0.9643-0.00003800.8858795=0.96425710.9643

Passo 7

4ª iteração ( n=3 n=4 ) e 5ª iteração ( n=4 n=5 ) apresentam mudanças menores que 0.0001, então, já estabilizam em:
x4approx x5approx0.9643

Resposta

0.9643

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