Faça funções f, g e h de V=1,2,3,4 em V serem definidas por f(n)=6-n, g(n)=3 e h=(1,2),(2,3),(3,4),(4,1). Decida quais funções são:
(a) injetoras;
(b) sobrejetoras;
© ambos os casos;
(d) nenhum dos casos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções definidas no conjunto . Precisamos descobrir quais dessas funções são injetoras, quais são sobrejetoras, quais são as duas coisas ao mesmo tempo e quais não são nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar entender o que é função injetora e sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas funções:
  • Função Injetora: Cada elemento do conjunto de partida se mapeia para um elemento único no conjunto de chegada. Ou seja, não há dois elementos diferentes que apontam para o mesmo.
  • Função Sobrejetora: Todos os elementos do conjunto de chegada são atingidos por pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Agora, vamos analisar cada função uma por uma.

Passo 3

Função

  • Injetora?
    • Vamos ver os valores:
    • Cada saída é única. Nenhum valor se repete, então é injetora.
  • Sobrejetora?
    • O conjunto de chegada também é .
    • As saídas de são .
    • O número 5 não está no conjunto , então nem todo elemento de é atingido. Logo, não é sobrejetora.

Passo 4

Função

  • Injetora?
    • Vamos ver os valores:
    • Todos os elementos do domínio se mapeiam para 3. Como diferentes elementos apontam para o mesmo, não é injetora.
  • Sobrejetora?
    • O conjunto de chegada é .
    • A única saída é 3, então apenas 3 é atingido.
    • Os números 1, 2 e 4 não são atingidos. Logo, não é sobrejetora.

Passo 5

Função

  • Injetora?
    • Vamos analisar:
      • Cada elemento do domínio (1, 2, 3, 4) aponta para um único elemento.
      • Não há dois elementos diferentes mapeando para o mesmo. Então, é injetora.
  • Sobrejetora?
    • O conjunto de chegada é .
    • As saídas são , que cobrem todo o conjunto .
    • Então, é sobrejetora.

Passo 6

Resumo

  • Função
    • Injetora: Sim
    • Sobrejetora: Não
  • Função
    • Injetora: Não
    • Sobrejetora: Não
  • Função
    • Injetora: Sim
    • Sobrejetora: Sim

Resposta

  • Função é injetora.
  • Função não é injetora nem sobrejetora.
  • Função é injetora e sobrejetora.

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