Faça funções
e
de
em
serem definidas por
e
. Decida quais funções são:
(a) injetoras;
(b) sobrejetoras;
© ambos os casos;
(d) nenhum dos casos.
(a) injetoras;
(b) sobrejetoras;
© ambos os casos;
(d) nenhum dos casos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções definidas no conjunto
. Precisamos descobrir quais dessas funções são injetoras, quais são sobrejetoras, quais são as duas coisas ao mesmo tempo e quais não são nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar entender o que é função injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas funções:
- Função Injetora: Cada elemento do conjunto de partida se mapeia para um elemento único no conjunto de chegada. Ou seja, não há dois elementos diferentes que apontam para o mesmo.
- Função Sobrejetora: Todos os elementos do conjunto de chegada são atingidos por pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Agora, vamos analisar cada função uma por uma.
Passo 3
Função
-
Injetora?
- Vamos ver os valores:
-
- Cada saída é única. Nenhum valor se repete, então
é injetora.
- Vamos ver os valores:
-
Sobrejetora?
- O conjunto de chegada também é
. - As saídas de
são . - O número 5 não está no conjunto
, então nem todo elemento de é atingido. Logo, não é sobrejetora.
- O conjunto de chegada também é
Passo 4
Função
-
Injetora?
- Vamos ver os valores:
-
- Todos os elementos do domínio se mapeiam para 3. Como diferentes elementos apontam para o mesmo,
não é injetora.
- Vamos ver os valores:
-
Sobrejetora?
- O conjunto de chegada é
. - A única saída é 3, então apenas 3 é atingido.
- Os números 1, 2 e 4 não são atingidos. Logo,
não é sobrejetora.
- O conjunto de chegada é
Passo 5
Função
-
Injetora?
- Vamos analisar:
- Cada elemento do domínio (1, 2, 3, 4) aponta para um único elemento.
- Não há dois elementos diferentes mapeando para o mesmo. Então,
é injetora.
- Vamos analisar:
-
Sobrejetora?
- O conjunto de chegada é
. - As saídas são
, que cobrem todo o conjunto . - Então,
é sobrejetora.
- O conjunto de chegada é
Passo 6
Resumo
-
Função
- Injetora: Sim
- Sobrejetora: Não
-
Função
- Injetora: Não
- Sobrejetora: Não
-
Função
- Injetora: Sim
- Sobrejetora: Sim
Resposta
- Função
é injetora. - Função
não é injetora nem sobrejetora. - Função
é injetora e sobrejetora.