Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indi cadas:
w=y ln (x^2+z^4), partial^3 wpartial z^2 partial y

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada parcial de terceira ordem partial^3 wpartial z^2partial y da função w=ylnl(x^2+z^4r). Vamos usar regras de derivação de funções compostas (chain rule) e regra do quociente para as derivadas em z.

Passo 2

Primeiro, derivamos w em relação a y. Como w=ycdot f(x,z) com f(x,z)=ln(x^2+z^4), temos:
partial wpartial y=lnl(x^2+z^4r)

Passo 3

Em seguida, derivamos partial wpartial y em relação a z, aplicando chain rule ao logaritmo:
partial^2 wpartial zpartial y=1x^2+z^4cdotpartialpartial z(x^2+z^4)=4z^3x^2+z^4

Passo 4

Agora, derivamos mais uma vez em relação a z usando regra do quociente em 4z^3x^2+z^4: seja N=4z^3 e D=x^2+z^4. Então
partialpartial zl(NDr)=N',D - N,D'D^2=12z^2(x^2+z^4)-4z^3cdot4z^3(x^2+z^4)^2

Passo 5

Por fim, simplificamos o numerador:
12z^2(x^2+z^4)-16z^6=12x^2z^2+12z^6-16z^6=12x^2z^2-4z^6=4z^2(3x^2-z^4)
Logo,

Resposta

partial^3 wpartial z^2partial y=4z^2l(3x^2-z^4r)l(x^2+z^4r)^2

Exercícios relacionados