A densidade rho(g / cm^3) do gás dióxido de carbono CO2 depende de sua temperatura T( ^circ C) e pressão P (em atmosferas). O modelo de gás ideal para CO2 dá o que se chama de equação de estado rho=0,5363 PT+273,15. Calcule a diferencial d rho. Explique os sinais dos coeficientes de dT e dP.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferencial total de ρ, que é função de duas variáveis independentes: a temperatura T (em °C) e a pressão P (em atm). O conteúdo aqui é o uso de derivadas parciais e da fórmula da diferencial total para uma função de duas variáveis.

Passo 2

Definimos a função dada pelo modelo de gás ideal: ρ depende de T e P segundo
ρ(T,P)=0.5363,PT+273.15

Passo 3

Para achar a derivada parcial de ρ em relação a P (mantendo T constante), usamos a regra do quociente onde apenas o numerador varia. Obtemos
∂ρ∂P=0.5363T+273.15, que é sempre positivo.

Passo 4

Para achar a derivada parcial de ρ em relação a T (mantendo P constante), derivamos o denominador:
∂ρ∂T=-0.5363,Pcdot1(T+273.15)^2=-0.5363,P(T+273.15)^2, que é sempre negativo.

Passo 5

Aplicamos então a fórmula da diferencial total para funções de duas variáveis:
dρ=∂ρ∂P,dP+∂ρ∂T,dT
Substituindo as derivadas parciais, temos
dρ=0.5363T+273.15,dP-0.5363,P(T+273.15)^2,dT

Passo 6

O coeficiente de dP é positivo porque, a temperatura fixa, aumentar a pressão comprime o gás e ele fica mais denso. O coeficiente de dT é negativo pois, a pressão fixa, aumentar a temperatura expande o gás e reduz sua densidade.

Resposta

$$dρ=\frac{0.5363}{T+273.15},dP;-
\frac{0.5363,P}{(T+273.15)^2},dT.$$

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