A densidade
do gás dióxido de carbono
depende de sua temperatura
e pressão P (em atmosferas). O modelo de gás ideal para
dá o que se chama de equação de estado
. Calcule a diferencial d
. Explique os sinais dos coeficientes de dT e dP.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diferencial total de ρ, que é função de duas variáveis independentes: a temperatura T (em °C) e a pressão P (em atm). O conteúdo aqui é o uso de derivadas parciais e da fórmula da diferencial total para uma função de duas variáveis.
Passo 2
Definimos a função dada pelo modelo de gás ideal: ρ depende de T e P segundo
Passo 3
Para achar a derivada parcial de ρ em relação a P (mantendo T constante), usamos a regra do quociente onde apenas o numerador varia. Obtemos
Passo 4
Para achar a derivada parcial de ρ em relação a T (mantendo P constante), derivamos o denominador:
Passo 5
Aplicamos então a fórmula da diferencial total para funções de duas variáveis:
Substituindo as derivadas parciais, temos
Passo 6
O coeficiente de dP é positivo porque, a temperatura fixa, aumentar a pressão comprime o gás e ele fica mais denso. O coeficiente de dT é negativo pois, a pressão fixa, aumentar a temperatura expande o gás e reduz sua densidade.
Resposta
$$dρ=\frac{0.5363}{T+273.15},dP;-
\frac{0.5363,P}{(T+273.15)^2},dT.$$