Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indi cadas:
z=e^x ln (y)+sen(y) ln (x), partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial x partial y, partial^2 zpartial y^2

Passo 1

Temos a função z = e^x ln(y) + sin(y)ln(x). O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem e vamos precisar das regras do produto, da cadeia e das derivadas de exponencial, logaritmo e funções trigonométricas.

Passo 2

Começamos encontrando as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando em relação a x:
partial zpartial x = e^x ln(y) + sin(y)x
Derivando em relação a y:
partial zpartial y = e^xy + ln(x)cos(y)

Passo 3

Para obter partial^2 zpartial x^2 derivamos partial zpartial x em relação a x. Temos:
partial^2 zpartial x^2 = e^x ln(y) - sin(y)x^2

Passo 4

Agora a derivada mista partial^2 zpartial xpartial y sai ao derivar partial zpartial x em relação a y. Assim:
partial^2 zpartial ypartial x = e^xy + cos(y)x

Passo 5

Por fim, para partial^2 zpartial y^2 derivamos partial zpartial y em relação a y. Ficamos com:
partial^2 zpartial y^2 = -e^xy^2 - ln(x)sin(y)

Resposta

partial^2 zpartial x^2 = e^x ln(y) - sin(y)x^2, partial^2 zpartial xpartial y = e^xy + cos(y)x, partial^2 zpartial y^2 = -e^xy^2 - ln(x)sin(y)

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