Seja
a superfície formada pela interseção de
e
, onde
é o cilindro de equação
é o disco de equação
no plano
e
o plano de equação
. Note que
é a lateral de
é a base de
e
é o topo de
.
Construa o gráfico de
.
Construa o gráfico de
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos desenhar a superfície S que é a união de três partes – a lateral do cilindro x²+y²=1 entre z=0 e z=1+x, a base circular no plano z=0 com x²+y²≤1 e o topo dado pelo plano z=1+x limitado ao disco x²+y²≤1. O conteúdo principal é a parametrização de superfícies em coordenadas cilíndricas e a visualização geométrica do resultado.
Passo 2
Para a lateral S₁ (o “casco” do cilindro) usamos a parametrização cilíndrica, fixando o raio em 1 e deixando z variar até o plano z=1+x. Assim:
Passo 3
Para a base S₂ (o disco no z=0) parametricamente:
Passo 4
Para o topo S₃ (o plano inclinado cortado pelo cilindro) usamos:
Passo 5
Juntando as três partes vemos que S é exatamente um cilindro de raio 1 apoiado em z=0 e “tampado” pelo plano inclinado z=1+x, conforme ilustrado em um esboço 3D com a lateral cilíndrica, a base plana e o topo inclinado.
Resposta
Uma forma completa de descrever o gráfico de S é usar as três parametrizações ao mesmo tempo, ou seja, S={r_1(\theta,t)}\cup{r_2(r,\theta)}\cup{r_3(r,\theta)}, com r_1, r_2 e r_3 dadas acima e seus domínios especificados.