Seja S a superfície formada pela interseção de S1, S2 e S3, onde S1 é o cilindro de equação x^2+y^2=1, S2 é o disco de equação x^2+y^2 <= 1 no plano z=0 e S3 o plano de equação z=1+x. Note que S1 é a lateral de S, S2 é a base de S e S3 é o topo de S.
Construa o gráfico de S.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos desenhar a superfície S que é a união de três partes – a lateral do cilindro x²+y²=1 entre z=0 e z=1+x, a base circular no plano z=0 com x²+y²≤1 e o topo dado pelo plano z=1+x limitado ao disco x²+y²≤1. O conteúdo principal é a parametrização de superfícies em coordenadas cilíndricas e a visualização geométrica do resultado.

Passo 2

Para a lateral S₁ (o “casco” do cilindro) usamos a parametrização cilíndrica, fixando o raio em 1 e deixando z variar até o plano z=1+x. Assim:
r1(theta,t)=(costheta,,sintheta,,t), thetain[0,2pi],;tin[0,,1+costheta]

Passo 3

Para a base S₂ (o disco no z=0) parametricamente:
r2(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,0), rin[0,1],;thetain[0,2pi]

Passo 4

Para o topo S₃ (o plano inclinado cortado pelo cilindro) usamos:
r3(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,1+rcostheta), rin[0,1],;thetain[0,2pi]

Passo 5

Juntando as três partes vemos que S é exatamente um cilindro de raio 1 apoiado em z=0 e “tampado” pelo plano inclinado z=1+x, conforme ilustrado em um esboço 3D com a lateral cilíndrica, a base plana e o topo inclinado.

Resposta

Uma forma completa de descrever o gráfico de S é usar as três parametrizações ao mesmo tempo, ou seja, S={r_1(\theta,t)}\cup{r_2(r,\theta)}\cup{r_3(r,\theta)}, com r_1, r_2 e r_3 dadas acima e seus domínios especificados.

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