Seja
um campo vetorial.
Note que, pelo Teorema de Stokes, a integral
não depende da superfície
. Por que isto é verdade?
Note que, pelo Teorema de Stokes, a integral
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para o campo vetorial
, a integral de superfície
não depende da superfície
escolhida, apenas da sua fronteira. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e a propriedade de que a divergência do rotacional de um campo é sempre zero.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes sabemos que, para qualquer superfície
suave com fronteira
, vale a igualdade
Isso já mostra que a integral de superfície de
só depende de
, e não de como
é deformada.
Passo 3
Outra forma de ver a independência de
é considerar duas superfícies
e
que têm a mesma fronteira
. Se unirmos
a
(isto é,
com orientação invertida), obtemos uma superfície fechada. Aplicando o Teorema da Divergência a essa superfície fechada, temos
Mas é uma identidade vetorial que
para qualquer campo
de classe
. Assim o volume integral é zero, e as duas integrais de superfície são iguais.
Passo 4
Portanto, pela relação com a integral de linha (via Stokes) ou pela divergência do rotacional ser zero, concluímos que a integral
não depende da forma de
, mas apenas de sua fronteira.
Resposta
A integral independe de
porque, pelo Teorema de Stokes, ela equivale à integral de linha em
, que só conhece a fronteira, e porque a divergência de um rotacional é zero, garantindo que qualquer deformação de
não altere o valor da integral.