Seja F(x, y, z)=x z i+y z j+x y k um campo vetorial.
Note que, pelo Teorema de Stokes, a integral integral duplaS(nabla times F) cdot d S não depende da superfície S. Por que isto é verdade?

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para o campo vetorial F(x,y,z)=xz,i+yz,j+xy,k, a integral de superfície integral duplaS(nablatimesF)cdot dS não depende da superfície S escolhida, apenas da sua fronteira. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e a propriedade de que a divergência do rotacional de um campo é sempre zero.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes sabemos que, para qualquer superfície S suave com fronteira partial S, vale a igualdade
integral duplaS(nablatimesF)cdot dS = ointpartial SFcdot dr
Isso já mostra que a integral de superfície de nablatimesF só depende de partial S, e não de como S é deformada.

Passo 3

Outra forma de ver a independência de S é considerar duas superfícies S1 e S2 que têm a mesma fronteira partial S. Se unirmos S1 a -S2 (isto é, S2 com orientação invertida), obtemos uma superfície fechada. Aplicando o Teorema da Divergência a essa superfície fechada, temos
integral duplaS1(nablatimesF)cdot dS - integral duplaS2(nablatimesF)cdot dS = integral triplaVnablacdot(nablatimesF),dV
Mas é uma identidade vetorial que
nablacdot(nablatimesF) = 0
para qualquer campo F de classe C^2. Assim o volume integral é zero, e as duas integrais de superfície são iguais.

Passo 4

Portanto, pela relação com a integral de linha (via Stokes) ou pela divergência do rotacional ser zero, concluímos que a integral integral duplaS(nablatimesF)cdot dS não depende da forma de S, mas apenas de sua fronteira.

Resposta

A integral independe de S porque, pelo Teorema de Stokes, ela equivale à integral de linha em partial S, que só conhece a fronteira, e porque a divergência de um rotacional é zero, garantindo que qualquer deformação de S não altere o valor da integral.

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