Suponha que para uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por: V(x, y, z)=x 2-3 xy+ xyz.
Determine a taxa de variação do potencial em P=(3,4,5) na direção do vetor v=(1,1,-1).

Passo 1

A questão diz que o potencial elétrico na região é dado por V(x,y,z)=x^2-3xy+xyz e pede a taxa de variação de V no ponto P=(3,4,5) na direção do vetor v=(1,1,-1). O conteúdo envolvido é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de V e do vetor unitário na direção de v.

Passo 2

O gradiente de V é o vetor das derivadas parciais:
nabla V(x,y,z)=gl(partial Vpartial x,;partial Vpartial y,;partial Vpartial zgr)
Calculando cada componente:
partial Vpartial x=2x-3y+yz, partial Vpartial y=-3x+xz, partial Vpartial z=xy

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(3,4,5):
nabla V(3,4,5)=l(2cdot3-3cdot4+4cdot5,;-3cdot3+3cdot5,;3cdot4r)=l(6-12+20,;-9+15,;12r)=l(14,6,12r)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(1,1,-1). Primeiro o módulo:
|v|=raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3
Logo o vetor unitário é
u=1raiz3(1,1,-1)

Passo 5

A derivada direcional de V em P na direção de v é o produto escalar de nabla V(3,4,5) com u:
DuV(3,4,5)=nabla V(3,4,5)cdotu=1raiz3(14cdot1+6cdot1+12cdot(-1))=14+6-12raiz3=8raiz3

Resposta

A taxa de variação do potencial em P na direção de v é dfrac8raiz3.

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