Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indi cadas:
w=e^x z+tg(x^3y^2), partial^2 wpartial z partial x, partial^2 wpartial y partial x

Passo 1

Temos a função w = e^x z + tanl(tfracx^3y^2r). O objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem tfracpartial^2 wpartial zpartial x e tfracpartial^2 wpartial ypartial x. Vamos usar derivadas parciais, regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Para começar, calculamos tfracpartial wpartial x. Para e^xz, aplicamos a regra da exponencial e obtemos z e^xz. Para tan(u) com u=tfracx^3y^2, usamos tfracddxtan(u)=sec^2(u),u' e u'=tfrac3x^2y^2. Fica
partial wpartial x=z e^xz+sec^2l(tfracx^3y^2r)3x^2y^2

Passo 3

Para tfracpartial^2 wpartial zpartial x, derivamos tfracpartial wpartial x em relação a z. O termo z e^xz gera, pela regra do produto,
ddzl(z e^xzr)=e^xz+xz e^xz
O segundo termo não depende de z. Assim,
partial^2 wpartial zpartial x=e^xz+xz e^xz=e^xz(1+xz)

Passo 4

Para tfracpartial^2 wpartial ypartial x, derivamos tfracpartial wpartial x em relação a y. O termo z e^xz some. No segundo termo escrevemos 3x^2sec^2(u)y^-2. Aplicamos produto e regra da cadeia: temos
ddysec^2(u)=2sec^2(u)tan(u),u', u'=-2x^3y^-3,
ddyy^-2=-2y^-3
Combinando tudo, obtemos
partial^2 wpartial ypartial x=-12x^5y^5sec^2l(tfracx^3y^2r)tanl(tfracx^3y^2r)-6x^2y^3sec^2l(tfracx^3y^2r)

Resposta

[\n\frac{\partial^2 w}{\partial z \partial x} = e^{xz}(1 + x z)\n]\n\n[\n\frac{\partial^2 w}{\partial y \partial x} = -12 \frac{x5}{y5} \sec2\bigl(\frac{x3}{y2}\bigr)\tan\bigl(\frac{x3}{y^2}\bigr) - 6 \frac{x2}{y3} \sec2\bigl(\frac{x3}{y^2}\bigr)\n]

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