Determine e esboce o domínio das funções, obtendo o domínio e a imagem.
H(x, y)=(6 x+2 y) /(x^2+y^2-9)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis definida por
H(x,y)=6x+2yx^2+y^2-9
O conteúdo envolvido é função de várias variáveis reais, em que precisamos garantir que o denominador não se anule para definir o domínio e, depois, descobrir quais valores reais a função atinge (a imagem).

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que a única restrição vem do denominador. Precisamos de
x^2+y^2-9neq0
ou seja, excluímos do plano todos os pontos que satisfazem x^2+y^2=9.

Passo 3

Para esboçar o domínio, desenhamos o círculo de raio 3 centrado na origem e removemos sua fronteira. O domínio consiste das duas regiões abertas:
  • o disco interno x^2+y^2<9,
  • e o exterior ao círculo x^2+y^2>9.

Passo 4

Para determinar a imagem, fixamos um valor kinR e exigimos
6x+2yx^2+y^2-9=k
que equivale a
6x+2y=k(x^2+y^2-9)
Usamos coordenadas polares (x,y)=r(costheta,sintheta). Definindo alpha=6costheta+2sintheta, a equação vira
alpha,r=k(r^2-9)
Para cada ângulo theta, analisamos duas faixas de r:
- Se r>3, conforme rto3^+, o lado direito k(r^2-9) tende a zero e o quociente H vai a pminfty, e conforme rto+infty, Hto0.
- Se 0, conforme rto3^-, novamente Htompinfty e conforme rto0, Hto0.
Assim, variando r em cada ramo cobrimos todos os valores positivos e negativos, e o valor zero também é atingido sempre que 6x+2y=0 com x^2+y^2neq9.

Passo 5

Portanto a imagem da função é todo o conjunto dos números reais, pois para qualquer kinR encontramos pontos (x,y) satisfazendo H(x,y)=k.

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid x^2+y^2neq9. Imagem: R.

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