Determine e esboce o domínio das funções, obtendo o domínio e a imagem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis definida por
O conteúdo envolvido é função de várias variáveis reais, em que precisamos garantir que o denominador não se anule para definir o domínio e, depois, descobrir quais valores reais a função atinge (a imagem).
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que a única restrição vem do denominador. Precisamos de
ou seja, excluímos do plano todos os pontos que satisfazem
Passo 3
Para esboçar o domínio, desenhamos o círculo de raio 3 centrado na origem e removemos sua fronteira. O domínio consiste das duas regiões abertas:
- o disco interno
, - e o exterior ao círculo
.
Passo 4
Para determinar a imagem, fixamos um valor
e exigimos
que equivale a
Usamos coordenadas polares
. Definindo
, a equação vira
Para cada ângulo
- Se
- Se
Assim, variando
Passo 5
Portanto a imagem da função é todo o conjunto dos números reais, pois para qualquer
encontramos pontos
satisfazendo
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.