Use o teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r onde F=(yz, 2 xz, xy), e C é a circunferência de raio 2 no plano z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointCvec Fcdot dvec r usando o Teorema de Stokes, onde
vec F=(yz,,2xz,,xy) e C é a circunferência de raio 2 no plano z=2. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha ao fluxo do rotacional de vec F através de uma superfície S cujo contorno é C.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Stokes, primeiro calculamos o rotacional de vec F. Usamos a definição componente a componente:
(nablatimesvec F)x = Ry - Qz = x - 2x = -x,
(nablatimesvec F)y = Pz - Rx = y - y = 0,
(nablatimesvec F)z = Qx - Py = 2z - z = z
Portanto,
nablatimesvec F = (-x,,0,,z)

Passo 3

Agora escolhemos como superfície S o disco de raio 2 em z=2, cuja normal unitária escolhida para induzir orientação positiva em C é vec n= k. Então o Teorema de Stokes nos dá:
ointCvec Fcdot dvec r = integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS

Passo 4

No disco z=2 temos (nablatimesvec F)cdotvec n = (-x,0,z)cdot(0,0,1) = z = 2. Assim
integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS = integral duplaS 2,dS = 2times(área do disco de raio 2) = 2times(picdot2^2) = 8pi á

Resposta

8pi

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