Cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
nesses pontos;
(c) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(e) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites
e
.
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
(c) Calcule
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
(e) Calcule as raízes de
(f) Calcule os limites
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função \r
cujo domínio é todo
. Vamos aplicar os conceitos de derivada primeira para monotonia e extremos, derivada segunda para concavidade e inflexão, resolver
para raízes, calcular limites em ±∞ e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para ver onde
cresce ou decresce:\r
Para encontrar o sinal de
, resolvemos
, obtendo
. Em seguida:\r
- Se
, então , logo e é crescente em .\r - Se
, então , logo e é decrescente em .
Passo 3
O único ponto crítico é
. Como a derivada troca de positiva para negativa em
, há um máximo local (e global) aí. O valor de
nesse ponto é\r
Não há pontos de mínimo local, pois não há troca de sinal de
de negativa para positiva.
Passo 4
A derivada segunda indica a concavidade:\r
Como
para todo
, a curva é côncava para baixo em
e não há intervalo de concavidade para cima.
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem onde
ou muda de sinal. Aqui
é constante e nunca zero, portanto não há pontos de inflexão.
Passo 6
Resolvendo
para achar as raízes:\r
Pela fórmula de Bhaskara,\r
Passo 7
Os limites em ±∞ são\r
Passo 8
Com todas as informações, o esboço do gráfico de
é:\r
\r
\r
- É uma parábola voltada para baixo.\r
- Vértice em
, único máximo global.\r - Raízes em
e .\r - Intercepto em
quando : .\r - Concavidade sempre para baixo. \r
\r
3 +\r
| ·\r
2 + · · ← vértice (1,2)\r
| · ·\r
1 + · · ← intercepto em (0,1)\r
| · ·\r
y = 0 +·————·————·————·—— x\r
(1-√2) 1 (1+√2)\r
Resposta
O gráfico é uma parábola com vértice em
, voltada para baixo, crescente em
, decrescente em
, sem pontos de inflexão, raízes em
e
.