Cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(e) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
f(x)=-x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função \r
f(x) = -x^2 + 2x + 1, \r
cujo domínio é todo R. Vamos aplicar os conceitos de derivada primeira para monotonia e extremos, derivada segunda para concavidade e inflexão, resolver f(x)=0 para raízes, calcular limites em ±∞ e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para ver onde f cresce ou decresce:\r
f'(x) = ddxl(-x^2+2x+1r) = -2x + 2 \r
Para encontrar o sinal de f'(x), resolvemos -2x+2=0, obtendo x=1. Em seguida:\r
  • Se x<1, então -2x+2>0, logo f'(x)>0 e f é crescente em (-infty,1).\r
  • Se x>1, então -2x+2<0, logo f'(x)<0 e f é decrescente em (1,+infty).

Passo 3

O único ponto crítico é x=1. Como a derivada troca de positiva para negativa em x=1, há um máximo local (e global) aí. O valor de f nesse ponto é\r
f(1) = -1^2 + 2cdot1 + 1 = 2 \r
Não há pontos de mínimo local, pois não há troca de sinal de -2x+2 de negativa para positiva.

Passo 4

A derivada segunda indica a concavidade:\r
f''(x) = ddx(-2x+2) = -2 \r
Como f''(x)=-2<0 para todo x, a curva é côncava para baixo em (-infty,+infty) e não há intervalo de concavidade para cima.

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 ou muda de sinal. Aqui f''(x) é constante e nunca zero, portanto não há pontos de inflexão.

Passo 6

Resolvendo f(x)=0 para achar as raízes:\r
-x^2+2x+1 = 0 Long<=ftrightarrow x^2-2x-1=0 \r
Pela fórmula de Bhaskara,\r
x = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2

Passo 7

Os limites em ±∞ são\r
limxto+infty(-x^2+2x+1) = -infty, limxto-infty(-x^2+2x+1) = -infty

Passo 8

Com todas as informações, o esboço do gráfico de f é:\r
\r
  • É uma parábola voltada para baixo.\r
  • Vértice em l(1,2r), único máximo global.\r
  • Raízes em x = 1 - raiz2 e x = 1 + raiz2.\r
  • Intercepto em y quando x=0: f(0)=1.\r
  • Concavidade sempre para baixo. \r
    \r
      3 +\r
        |         ·\r
      2 +        · ·       ← vértice (1,2)\r
        |      ·     ·\r
      1 +   ·         ·     ← intercepto em (0,1)\r
        | ·             ·\r
    y = 0 +·————·————·————·—— x\r
         (1-√2)    1    (1+√2)\r

Resposta

O gráfico é uma parábola com vértice em (1,2), voltada para baixo, crescente em (-infty,1), decrescente em (1,+infty), sem pontos de inflexão, raízes em 1pmraiz2 e limxtopminftyf(x)=-infty.

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