Se f(x)=x^3+x, encontre (f^-1)^prime(2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função inversa de f(x)=x^3+x no ponto 2, ou seja, l(f^-1r)'(2). O conteúdo é a fórmula da derivada de uma função inversa, que diz que\r
l(f^-1r)'(y) =1f'l(f^-1(y)r)

Passo 2

Precisamos achar x0 tal que f(x0)=2. Isso significa resolver a equação\r
x^3 + x = 2 \r
Testando x=1, temos 1^3+1=2, logo\r
x0 = 1

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^3+x, vale\r
f'(x)=3x^2+1

Passo 4

Avaliamo-la em x0=1:\r
f'(1)=3cdot1^2+1=3+1=4

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada da inversa no ponto y=2:\r
l(f^-1r)'(2) =1f'l(f^-1(2)r) =1f'(1) =14

Resposta

14

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