Um reservatório de água tem a forma de um cone invertido com altura 12 m e raio da base 6 m . Qual a taxa de variação do volume da água quando o nível de água atinge 5 m e a taxa de aumento da altura de água é 2 m / min ?

Passo 1

O enunciado apresenta um reservatório em forma de cone invertido de altura 12 m e raio da base 6 m. A água forma um cone semelhante de altura h(t) e raio r(t), e cresce com taxa tfracdhdt=2 m/min. Queremos encontrar tfracdVdt quando h=5 m usando taxas relacionadas.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o cone total e o de água vale
rh=RH=612=tfrac12,
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r=tfrac12,h

Passo 3

O volume da água é dado por
V=13,pi,r^2,h
Substituindo r=tfrac12h,
V=13,pi!l(tfrac12hr)^2h =112,pi,h^3

Passo 4

Diferenciando em relação ao tempo t,
dVdt =ddt!l(pi12h^3r) =pi12cdot 3h^2;dhdt =pi4,h^2;dhdt

Passo 5

No instante em que h=5 m e tfracdhdt=2 m/min,
dVdt =pi4cdot 5^2cdot 2 =50pi4 =12,5pim^3/min

Resposta

A taxa de variação do volume é dVdt=12,5pi m³/min.

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