Cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
nesses pontos;
(c) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(e) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites
e
.
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
(c) Calcule
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
(e) Calcule as raízes de
(f) Calcule os limites
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
, e pede:
(a) e intervalos de crescimento/decrescimento;
(b) extremos locais;
(c) e concavidades;
(d) pontos de inflexão;
(e) raízes reais de ;
(f) ;
(g) esboço do gráfico.
(a)
(b) extremos locais;
(c)
(d) pontos de inflexão;
(e) raízes reais de
(f)
(g) esboço do gráfico.
Passo 2
Derivando,
As raízes críticas são
. Testando sinais em cada intervalo:
- Em
: (decresce). - Em
: (cresce). - Em
: (decresce). - Em
: (cresce).
Passo 3
Mudança de sinal de
dá extremos:
- Em
: passa de para , logo mínimo local em
. - Em
: de para , logo máximo local em
. - Em
: de para , logo mínimo local em
.
Passo 4
Segunda derivada:
Resolvendo
vem
Testando concavidade:
- Para
: (côncava para cima). - Entre
e : (côncava para baixo). - Para
: (côncava para cima).
Passo 5
Os pontos de inflexão são onde
muda de sinal, isto é, em
Seja
Logo pontos de inflexão em
e
.
Passo 6
Para
não há fatoração simples. Observando sinais, há duas raízes reais:
- Uma em
, numericamente . - Outra em
, numericamente .
As outras duas raízes são complexas conjugadas.
Passo 7
Como o termo dominante de grau 4 é
, temos
Passo 8
Esboço do gráfico baseado nos dados:
- De
até , a curva decresce e é côncava para cima, chegando ao mínimo . - De
a , cresce; entre e côncava para cima, depois côncava para baixo até , atingindo o máximo . - De
a , decresce; concavidade para baixo até , onde há inflexão, depois concavidade para cima até o mínimo . - Para
cresce e é sempre côncava para cima, subindo para .
Raízes eme .
Abaixo uma ideia de esboço (eixo vertical exagerado para clareza):
^
10| •(0,8) /
| / \ /
| / \ inflexão●
| / \ /
| / \ /
| / \ /
| / \ /
|/ \ /
+---------------●--------->
-2 -1 0 1 2 3
●(-1,3) ●(2,-24)
Resposta
O gráfico é de um polinômio de grau 4 que:
– Tem mínimo local em .
– Tem máximo local em .
– Tem mínimo local em .
– Tem inflexões em e
.
– Zera em e
.
– Vai a nos dois extremos.
– Tem mínimo local em
– Tem máximo local em
– Tem mínimo local em
– Tem inflexões em
– Zera em
– Vai a