Cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(e) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
f(x)=3 x^4-4 x^3-12 x^2+8

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8,
com domínio R, e pede:
(a) f'(x) e intervalos de crescimento/decrescimento;
(b) extremos locais;
(c) f''(x) e concavidades;
(d) pontos de inflexão;
(e) raízes reais de f(x)=0;
(f) limxtopminftyf(x);
(g) esboço do gráfico.

Passo 2

Derivando,
f'(x)=12x^3-12x^2-24x =12xl(x^2-x-2r) =12x(x-2)(x+1)
As raízes críticas são x=-1,0,2. Testando sinais em cada intervalo:
  • Em (-infty,-1): f'<0 (decresce).
  • Em (-1,0): f'>0 (cresce).
  • Em (0,2): f'<0 (decresce).
  • Em (2,infty): f'>0 (cresce).

Passo 3

Mudança de sinal de f' dá extremos:
  • Em x=-1: passa de f'<0 para f'>0, logo mínimo local em
    l(-1,f(-1)r)=(-1,3).
  • Em x=0: de f'>0 para f'<0, logo máximo local em
    l(0,f(0)r)=(0,8).
  • Em x=2: de f'<0 para f'>0, logo mínimo local em
    l(2,f(2)r)=(2,-24).

Passo 4

Segunda derivada:
f''(x)=l(12x^3-12x^2-24xr)' =36x^2-24x-24 =12l(3x^2-2x-2r)
Resolvendo 3x^2-2x-2=0 vem
x=1pmraiz73approx -0,5486,;1,2153
Testando concavidade:
  • Para x<tfrac1-raiz73: f''>0 (côncava para cima).
  • Entre tfrac1-raiz73 e tfrac1+raiz73: f''<0 (côncava para baixo).
  • Para x>tfrac1+raiz73: f''>0 (côncava para cima).

Passo 5

Os pontos de inflexão são onde f'' muda de sinal, isto é, em
x=1-raiz73, x=1+raiz73
Seja
x1=1-raiz73approx -0,5486, f(x1)approx5,32;
x2=1+raiz73approx1,2153, f(x2)approx-10,37
Logo pontos de inflexão em l(x1,5,32r) e l(x2,-10,37r).

Passo 6

Para f(x)=0 não há fatoração simples. Observando sinais, há duas raízes reais:
  • Uma em (0,1), numericamente xapprox0,78.
  • Outra em (2,3), numericamente xapprox2,69.
    As outras duas raízes são complexas conjugadas.

Passo 7

Como o termo dominante de grau 4 é 3x^4, temos
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=+infty

Passo 8

Esboço do gráfico baseado nos dados:
  • De x=-infty até -1, a curva decresce e é côncava para cima, chegando ao mínimo (-1,3).
  • De -1 a 0, cresce; entre -1 e -0,5486 côncava para cima, depois côncava para baixo até 0, atingindo o máximo (0,8).
  • De 0 a 2, decresce; concavidade para baixo até 1,2153, onde há inflexão, depois concavidade para cima até o mínimo (2,-24).
  • Para x>2 cresce e é sempre côncava para cima, subindo para +infty.
    Raízes em xapprox0,78 e xapprox2,69.
    Abaixo uma ideia de esboço (eixo vertical exagerado para clareza):
   ^
 10|       •(0,8)          /
   |      / \             /
   |     /   \   inflexão●
   |    /     \          /
   |   /       \        /
   |  /         \      /
   | /           \    /
   |/             \  /
   +---------------●--------->
  -2  -1  0   1   2   3
      ●(-1,3)     ●(2,-24)

Resposta

O gráfico é de um polinômio de grau 4 que:
– Tem mínimo local em l(-1,3r).
– Tem máximo local em l(0,8r).
– Tem mínimo local em l(2,-24r).
– Tem inflexões em l(tfrac1pmraiz73,,fr)approx(-0,55,5,32) e (1,22,-10,37).
– Zera em xapprox0,78 e xapprox2,69.
– Vai a +infty nos dois extremos.

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