Qual ponto do gráfico da função f(x)=x+1x que está mais próximo da origem?

Passo 1

O enunciado quer o ponto do gráfico de f(x)=x+tfrac1x que fica mais perto da origem (0,0). Vamos usar cálculo de uma função de uma variável: escrever a distância ao quadrado de (x,f(x)) até a origem, derivar, achar pontos críticos e verificar qual dá mínimo.

Passo 2

A distância de (x,f(x)) até a origem é
d(x)=raizx^2 + l(x + tfrac1xr)^2
Em vez de minimizar d(x), minimizamos
D(x)=d(x)^2 = x^2 + l(x + tfrac1xr)^2

Passo 3

Expandindo,
D(x)=x^2 + l(x^2 + 2 + tfrac1x^2r) =2x^2 + tfrac1x^2 + 2

Passo 4

Calculamos a derivada e igualamos a zero para achar pontos críticos:
dDdx =4x - 2x^-3 Longrightarrow 4x - 2x^3=0 Longrightarrow 4x^4=2 Longrightarrow x^4=tfrac12 Longrightarrow x=pm 2^-tfrac14

Passo 5

Em x^2=2^-tfrac12 temos
Dmin =2l(2^-tfrac12r) + 2 + 2^tfrac12 =2raiz2 + 2,
que é o menor valor possível de D. Assim os pontos que minimizam a distância são
l(2^-tfrac14,,2^-tfrac14 + 2^tfrac14r) e l(-2^-tfrac14,,-2^-tfrac14 - 2^tfrac14r)

Resposta

l(2^-tfrac14,,2^-tfrac14 + 2^tfrac14r) e l(-2^-tfrac14,,-2^-tfrac14 - 2^tfrac14r).

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