Cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
nesses pontos;
(c) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(e) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites
e
.
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
(c) Calcule
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
(e) Calcule as raízes de
(f) Calcule os limites
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para analisar completamente a função
que é definida para todo
. Vamos seguir o roteiro: (a) derivada e monotonicidade; (b) extremos locais; (c) segunda derivada e concavidade; (d) pontos de inflexão; (e) raízes; (f) limites no infinito; (g) esboço do gráfico.
Passo 2
Calculamos
usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
vem de
:
-
se ⇒ é crescente em . -
se ⇒ é decrescente em .
Passo 3
Os críticos ocorrem onde
, isto é, em
. Como
muda de positivo para negativo passando por 0,
é ponto de máximo local.
Logo há um máximo local em
. Não há outros pontos críticos, portanto não há mínimos locais.
Passo 4
Calculamos a segunda derivada de
Usando produto e cadeia, chega-se a
O denominador é positivo, então o sinal de
é o de
:
-
se , isto é : concavidade para cima. -
se : concavidade para baixo.
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem quando
, ou seja
⇒
.
Logo os pontos de inflexão são
.
Passo 6
Para as raízes resolvemos
⇒
, que não tem solução real. Portanto, não há raízes reais.
Passo 7
Os limites no infinito são obtidos comparando graus de polinômios no numerador e denominador (ambos de grau 2), o que dá assíntota horizontal
:
Resposta
(g) Esboço do gráfico:
- A curva cresce de
até , atinge máximo em , e daí decresce para 1 quando . - Há assíntota horizontal
. - A concavidade é para baixo em
e para cima fora desse intervalo. - Pontos de inflexão em
. - Não existem raízes reais.
O gráfico reflete essas características: um “pico” em, curvatura mudando em , e cauda aproximando-se de .