Cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(e) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
f(x)=x^2+3x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar completamente a função
f(x)=x^2+3x^2+1,
que é definida para todo xinR. Vamos seguir o roteiro: (a) derivada e monotonicidade; (b) extremos locais; (c) segunda derivada e concavidade; (d) pontos de inflexão; (e) raízes; (f) limites no infinito; (g) esboço do gráfico.

Passo 2

Calculamos f'(x) usando a regra do quociente. Seja u(x)=x^2+3 e v(x)=x^2+1. Então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 =2x(x^2+1)-(x^2+3),2x(x^2+1)^2 =-4x(x^2+1)^2
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'(x) vem de -4x:
  • f'(x)>0 se x<0 f é crescente em (-infty,0).
  • f'(x)<0 se x>0 f é decrescente em (0,infty).

Passo 3

Os críticos ocorrem onde f'(x)=0, isto é, em x=0. Como f' muda de positivo para negativo passando por 0, x=0 é ponto de máximo local.
f(0)=0^2+30^2+1=3
Logo há um máximo local em l(0,3r). Não há outros pontos críticos, portanto não há mínimos locais.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada de
f'(x)=-4x,(x^2+1)^-2
Usando produto e cadeia, chega-se a
f''(x) =4,(3x^2-1)(x^2+1)^3
O denominador é positivo, então o sinal de f''(x) é o de 3x^2-1:
  • f''(x)>0 se 3x^2-1>0, isto é |x|>1/raiz3: concavidade para cima.
  • f''(x)<0 se |x|<1/raiz3: concavidade para baixo.

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0, ou seja 3x^2-1=0 x=pm1/raiz3.
fl(pmtfrac1raiz3r) =tfrac13+3tfrac13+1 =tfrac103tfrac43 =104 =tfrac52
Logo os pontos de inflexão são l(pmtfrac1raiz3,,tfrac52r).

Passo 6

Para as raízes resolvemos f(x)=0 x^2+3=0, que não tem solução real. Portanto, não há raízes reais.

Passo 7

Os limites no infinito são obtidos comparando graus de polinômios no numerador e denominador (ambos de grau 2), o que dá assíntota horizontal y=1:
limxto+inftyf(x)=1, limxto-inftyf(x)=1

Resposta

(g) Esboço do gráfico:
  • A curva cresce de -infty até x=0, atinge máximo em (0,3), e daí decresce para 1 quando xto+infty.
  • Há assíntota horizontal y=1.
  • A concavidade é para baixo em l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) e para cima fora desse intervalo.
  • Pontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz3,tfrac52r).
  • Não existem raízes reais.
    O gráfico reflete essas características: um “pico” em (0,3), curvatura mudando em x=pm1/raiz3, e cauda aproximando-se de y=1.

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