Cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
nesses pontos;
(c) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(e) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites
e
.
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
(c) Calcule
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
(e) Calcule as raízes de
(f) Calcule os limites
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função \r
seguindo o roteiro:\r
(a) monotonicidade via ; \r
(b) extremos locais; \r
(c) concavidade via ; \r
(d) pontos de inflexão; \r
(e) raízes de ; \r
(f) limites em ; \r
(g) esboço do gráfico. \r
Vamos aplicar derivadas, estudar sinais e depois juntar tudo num esboço.
(a) monotonicidade via
(b) extremos locais; \r
(c) concavidade via
(d) pontos de inflexão; \r
(e) raízes de
(f) limites em
(g) esboço do gráfico. \r
Vamos aplicar derivadas, estudar sinais e depois juntar tudo num esboço.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:\r
O sinal de
dá:\r
-
em e em : cresce nesses intervalos.\r -
em : decresce aí.
Passo 3
Os pontos críticos são
e
. \r
- Em
, muda de + para –, logo é máximo local. \r \r - Em
, muda de – para +, logo é mínimo local. \r
Passo 4
Calculamos a derivada segunda:
O sinal de
dá concavidade:\r
-
em : curva côncava para baixo.\r -
em : curva côncava para cima.
Passo 5
Ponto de inflexão ocorre onde
, isto é em
. \r
O valor de ali é\r
O valor de
Logo ponto de inflexão em
.
Passo 6
Raízes de
: procurando soluções reais vemos que só há uma raiz real (as outras são complexas). Aproximando numericamente,\r
Intercepto em
:
. \r
Limites:
Limites:
Passo 7
Esboço do gráfico com os dados:\r
- Cresce até
[máx. local], desce até [mín. local], e cresce para . \r - Concavidade muda em
. \r - Ponto de interseção com o eixo
em . \r - Raiz real em
. \r
\r
y
|
0 | /
| /
-1 | ●(1,-1) /
| ‾‾‾\ /
-1,5 | ●\ /
| \/
-2 | ●(2,-2)
|
-6 |●(0,-6)
+---------------------- x
No diagrama acima nota-se o crescimento, decrescimento, extremos, inflexão e raiz.
Resposta
Veja o esboço acima e os pontos principais:\r
- Máximo local em
. \r - Mínimo local em
. \r - Ponto de inflexão em
. \r - Raiz real em
. \r - Intercepto em
em . \r -
, .