Cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(e) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x-6

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função \r
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6, \r
seguindo o roteiro:\r
(a) monotonicidade via f'(x); \r
(b) extremos locais; \r
(c) concavidade via f''(x); \r
(d) pontos de inflexão; \r
(e) raízes de f; \r
(f) limites em pminfty; \r
(g) esboço do gráfico. \r
Vamos aplicar derivadas, estudar sinais e depois juntar tudo num esboço.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:\r
f'(x) = ddxl(2x^3-9x^2+12x-6r) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2) \r
O sinal de f'(x) dá:\r
  • f'(x)>0 em x<1 e em x>2: f cresce nesses intervalos.\r
  • f'(x)<0 em 1<x<2: f decresce aí.

Passo 3

Os pontos críticos são x=1 e x=2. \r
  • Em x=1, f' muda de + para –, logo é máximo local. \r f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 6 = -1 \r
  • Em x=2, f' muda de – para +, logo é mínimo local. \r f(2) = 2cdot8 - 9cdot4 + 12cdot2 - 6 = -2

Passo 4

Calculamos a derivada segunda:
f''(x) = ddxl(6x^2-18x+12r) = 12x - 18 \r
O sinal de f''(x) dá concavidade:\r
  • f''(x)<0 em x<tfrac32: curva côncava para baixo.\r
  • f''(x)>0 em x>tfrac32: curva côncava para cima.

Passo 5

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, isto é em x=tfrac32. \r
O valor de f ali é\r
fl(tfrac32r) = 2l(tfrac32r)^3 - 9l(tfrac32r)^2 + 12l(tfrac32r) - 6 = -1,5 \r
Logo ponto de inflexão em l(tfrac32,,-1,5r).

Passo 6

Raízes de f(x)=0: procurando soluções reais vemos que só há uma raiz real (as outras são complexas). Aproximando numericamente,\r
xraizapprox 2,67 \r
Intercepto em y: f(0)=-6. \r
Limites:
limxto-inftyf(x) = -infty, limxto+inftyf(x) = +infty

Passo 7

Esboço do gráfico com os dados:\r
  • Cresce até (1,-1) [máx. local], desce até (2,-2) [mín. local], e cresce para +infty. \r
  • Concavidade muda em l(tfrac32,-1,5r). \r
  • Ponto de interseção com o eixo y em (0,-6). \r
  • Raiz real em (2,67,0). \r
    \r
    y
     |
  0  |                    /
     |                   /
-1   |        ●(1,-1)   /
     |         ‾‾‾\    /
-1,5 |           ●\  /
     |            \/
-2   |         ●(2,-2)
     |
-6   |●(0,-6)
     +---------------------- x
No diagrama acima nota-se o crescimento, decrescimento, extremos, inflexão e raiz.

Resposta

Veja o esboço acima e os pontos principais:\r
  • Máximo local em (1,-1). \r
  • Mínimo local em (2,-2). \r
  • Ponto de inflexão em l(tfrac32,-1,5r). \r
  • Raiz real em (2,67,0). \r
  • Intercepto em y em (0,-6). \r
  • limxto-inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=+infty.

Exercícios relacionados